Как решить уравнение 2sin^2x+4=3 корень из 3 sin(3pi/2 +x), если у меня получилось, что решений нет?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения математика тригонометрические функции синус уравнение с синусом отсутствие решений математические методы Новый

Давайте внимательно разберем уравнение 2sin^2(x) + 4 = 3√3sin(3π/2 + x) и проверим, действительно ли у него нет решений.

Первым шагом мы упростим правую часть уравнения. Мы знаем, что sin(3π/2 + x) = -cos(x). Это следует из тригонометрических свойств. Поэтому наше уравнение можно переписать так:

2sin^2(x) + 4 = -3√3cos(x)

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону:

2sin^2(x) + 3√3cos(x) + 4 = 0

Это квадратное уравнение по отношению к sin(x) и cos(x). Чтобы решить его, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Подставим sin^2(x) = 1 - cos^2(x) в уравнение:

2(1 - cos^2(x)) + 3√3cos(x) + 4 = 0

Раскроем скобки:

2 - 2cos^2(x) + 3√3cos(x) + 4 = 0

Соберем все члены:

-2cos^2(x) + 3√3cos(x) + 6 = 0

Теперь умножим уравнение на -1 для удобства:

2cos^2(x) - 3√3cos(x) - 6 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение по формуле cos(x) = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 2, b = -3√3, c = -6.

• Вычислим дискриминант: D = b^2 - 4ac = (-3√3)^2 - 4 * 2 * (-6)
• D = 27 + 48 = 75

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:

• cos(x) = (3√3 ± √75) / 4

Теперь вычислим корни:

√75 = 5√3, поэтому у нас есть:

• cos(x) = (3√3 + 5√3) / 4 = 2√3
• cos(x) = (3√3 - 5√3) / 4 = -√3/2

Теперь проверим, возможны ли такие значения для cos(x):

• Значение cos(x) = 2√3 не может быть, так как cos(x) всегда в пределах от -1 до 1.
• Значение cos(x) = -√3/2 возможно. Это значение соответствует углам x = 5π/6 + 2kπ и x = 7π/6 + 2kπ, где k - целое число.

Таким образом, у уравнения есть решения, и они находятся в пределах возможных значений для cos(x). Если вам показалось, что решений нет, возможно, вы не учли, что cos(x) может принимать отрицательные значения. Проверьте ваши вычисления еще раз!