Чтобы решить уравнение 2tg²x + 5tgx + 2 = 0, мы можем воспользоваться заменой переменной. Давайте обозначим tgx как t. Тогда уравнение преобразуется в:

2t² + 5t + 2 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Чтобы решить его, мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 2
• b = 5
• c = 2

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

t = (-5 ± √(5² - 4 * 2 * 2)) / (2 * 2)

Сначала вычислим дискриминант:

• 5² = 25
• 4 * 2 * 2 = 16
• Дискриминант = 25 - 16 = 9

Теперь подставим дискриминант в формулу:

t = (-5 ± √9) / 4

Так как √9 = 3, у нас получится два значения:

t₁ = (-5 + 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

t₂ = (-5 - 3) / 4 = -8 / 4 = -2

Теперь у нас есть два значения для t: t₁ = -1/2 и t₂ = -2. Поскольку мы заменили tgx на t, теперь мы можем вернуть tgx:

tgx₁ = -1/2

tgx₂ = -2

Теперь найдем x для каждого из значений tgx:

1. Для tgx₁ = -1/2:

• tgx = -1/2
• Решения будут в 2-й и 4-й четвертях.
• Используем арктангенс: x₁ = arctg(-1/2) + kπ, где k - целое число.

2. Для tgx₂ = -2:

• tgx = -2
• Решения также будут в 2-й и 4-й четвертях.
• Используем арктангенс: x₂ = arctg(-2) + kπ, где k - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения 2tg²x + 5tgx + 2 = 0 будет:

x = arctg(-1/2) + kπ

x = arctg(-2) + kπ

где k - любое целое число.