Как решить уравнение 3 sin² x - 5 sin x - 2 = 0?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение решение уравнения математика 11 класс синус тригонометрические уравнения алгебра решение тригонометрических уравнений Новый

Для решения уравнения 3 sin² x - 5 sin x - 2 = 0, начнем с того, что это квадратное уравнение относительно sin x. Давайте обозначим sin x как t. Тогда уравнение примет следующий вид:

3t² - 5t - 2 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 3, b = -5, c = -2. Подставим эти значения в формулу:

1. Сначала найдем дискриминант D:
• D = b² - 4ac = (-5)² - 4 * 3 * (-2) = 25 + 24 = 49
2. Теперь подставим дискриминант в формулу:
• t = (5 ± √49) / (2 * 3) = (5 ± 7) / 6

Теперь найдем два корня:

1. Первый корень:
• t₁ = (5 + 7) / 6 = 12 / 6 = 2
2. Второй корень:
• t₂ = (5 - 7) / 6 = -2 / 6 = -1/3

Теперь у нас есть два значения для t (sin x): t₁ = 2 и t₂ = -1/3. Однако, поскольку значение синуса не может превышать 1, мы отбрасываем t₁ = 2.

Теперь нам нужно решить уравнение sin x = -1/3. Для этого мы можем использовать обратную функцию синуса:

x = arcsin(-1/3)

Однако, arcsin дает только один корень в диапазоне от -π/2 до π/2. Но синус - это периодическая функция, поэтому мы должны учесть все возможные решения:

Основное решение:

• x₁ = arcsin(-1/3)

Также существует второе решение в пределах одного полного периода (0, 2π):

• x₂ = π - arcsin(-1/3)

Кроме того, учитывая периодичность синуса, общее решение будет выглядеть так:

x = arcsin(-1/3) + 2kπ

или

x = π - arcsin(-1/3) + 2kπ

где k - любое целое число.

Таким образом, мы нашли все решения уравнения 3 sin² x - 5 sin x - 2 = 0.