Как решить уравнение 3sin^2x + 4sinxcosx + cos^2x = 0? Прошу предоставить подробное объяснение решения.

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения тригонометрические функции 3sin^2x + 4sinxcosx + cos^2x математика 11 класс подробное объяснение решения Новый

Чтобы решить уравнение 3sin^2x + 4sinxcosx + cos^2x = 0, начнем с преобразования его в более удобный вид. Мы можем выразить все через одну тригонометрическую функцию, например, через sinx или cosx. В данном случае, давайте воспользуемся заменой:

Обозначим sinx = t. Тогда cos^2x можно выразить как (1 - t^2), так как по тригонометрической идентичности sin^2x + cos^2x = 1.

Теперь подставим это в уравнение:

1. Уравнение становится: 3t^2 + 4t * sqrt(1 - t^2) + (1 - t^2) = 0.
2. Соберем все члены: 3t^2 + 4t * sqrt(1 - t^2) + 1 - t^2 = 0.
3. Упростим: 2t^2 + 4t * sqrt(1 - t^2) + 1 = 0.

Теперь мы видим, что у нас есть квадратный корень. Чтобы избавиться от него, сначала выразим 4t * sqrt(1 - t^2):

1. 4t * sqrt(1 - t^2) = - (2t^2 + 1).

Теперь возведем обе стороны уравнения в квадрат:

1. (4t * sqrt(1 - t^2))^2 = (2t^2 + 1)^2.
2. 16t^2(1 - t^2) = 4t^4 + 4t^2 + 1.

Раскроем скобки:

1. 16t^2 - 16t^4 = 4t^4 + 4t^2 + 1.

Соберем все в одну сторону:

1. 16t^2 - 16t^4 - 4t^4 - 4t^2 - 1 = 0.
2. Объединим подобные члены: -20t^4 + 12t^2 - 1 = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно t^2. Обозначим u = t^2, тогда уравнение примет вид:

-20u^2 + 12u - 1 = 0.

Теперь можем решить это уравнение с помощью дискриминанта:

1. Находим D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 * (-20) * (-1) = 144 - 80 = 64.
2. Теперь находим корни: u1,2 = (-b ± sqrt(D)) / (2a) = (12 ± 8) / (-40).

Вычислим корни:

1. u1 = (12 + 8) / (-40) = 20 / (-40) = -0.5 (не подходит, так как u = t^2 не может быть отрицательным).
2. u2 = (12 - 8) / (-40) = 4 / (-40) = -0.1 (тоже не подходит).

Так как оба корня отрицательные, это означает, что уравнение 3sin^2x + 4sinxcosx + cos^2x = 0 не имеет действительных решений.

Итак, ответ: уравнение не имеет решений.