Как решить уравнение 4cos^3x = cosx - sinx и найти наибольшее положительное решение в промежутке (0°; 270°)?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения тригонометрические уравнения наибольшее положительное решение промежуток 0° 270° cos и sin математика 11 класс Новый

Чтобы решить уравнение 4cos^3x = cosx - sinx, начнем с того, что мы можем привести его к более удобному виду. Для этого перенесем все члены на одну сторону уравнения:

1. Переписываем уравнение:

4cos^3x - cosx + sinx = 0

Теперь мы видим, что у нас есть выражение, содержащее косинус и синус. Чтобы упростить решение, мы можем выразить sinx через cosx, используя основное тригонометрическое тождество:

2. Используем тождество:

sin^2x + cos^2x = 1, отсюда sinx = sqrt(1 - cos^2x).

Однако, вместо этого давайте попробуем решить уравнение более традиционным способом, используя графический метод или численные методы, чтобы найти корни уравнения.

3. Найдем значения функции:

Рассмотрим функцию f(x) = 4cos^3x - cosx + sinx. Мы будем искать значения этой функции на промежутке (0°, 270°).

4. Найдем критические точки:

• Поскольку у нас есть тригонометрические функции, мы можем использовать значения углов, которые легко вычислить:
• cos(0°) = 1, sin(0°) = 0; f(0°) = 4(1)^3 - 1 + 0 = 3;
• cos(90°) = 0, sin(90°) = 1; f(90°) = 4(0)^3 - 0 + 1 = 1;
• cos(180°) = -1, sin(180°) = 0; f(180°) = 4(-1)^3 - (-1) + 0 = -3;
• cos(270°) = 0, sin(270°) = -1; f(270°) = 4(0)^3 - 0 - 1 = -1.

5. Проверим промежутки:

Теперь мы можем оценить, где функция может менять знак:

• f(0°) = 3 (положительное);
• f(90°) = 1 (положительное);
• f(180°) = -3 (отрицательное);
• f(270°) = -1 (отрицательное).

Таким образом, мы видим, что функция меняет знак между 90° и 180°. Это значит, что в этом промежутке есть корень.

6. Найдем корень с помощью численных методов:

Можно использовать метод половинного деления или метод Ньютона, чтобы найти более точное значение корня. Для простоты, давайте попробуем методом половинного деления:

• Проверяем f(135°):
• cos(135°) = -sqrt(2)/2, sin(135°) = sqrt(2)/2;
• f(135°) = 4(-sqrt(2)/2)^3 - (-sqrt(2)/2) + (sqrt(2)/2) = -2sqrt(2) + sqrt(2) + sqrt(2) = -2sqrt(2) + 2sqrt(2) = 0.

Таким образом, мы нашли корень, который равен 135°.

7. Найдем наибольшее положительное решение:

В промежутке (0°; 270°) наибольшее положительное решение уравнения 4cos^3x = cosx - sinx равно 135°.

Таким образом, окончательный ответ: 135°.