Как решить уравнение: cos^6(pi/4 - x) + cos^6(pi/4 + x) = 0,5? За ответ дам 60 баллов!

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение косинуса решение тригонометрических уравнений cos^6(pi/4 - x) cos^6(pi/4 + x) математика 11 класс Новый

Для решения уравнения cos^6(pi/4 - x) + cos^6(pi/4 + x) = 0,5 давайте начнем с упрощения выражений с косинусами.

Сначала вспомним, что cos(pi/4) = sqrt(2)/2. Теперь можем записать cos(pi/4 - x) и cos(pi/4 + x) с использованием формул косинуса разности и суммы:

• cos(pi/4 - x) = cos(pi/4)cos(x) + sin(pi/4)sin(x) = (sqrt(2)/2)cos(x) + (sqrt(2)/2)sin(x) = (sqrt(2)/2)(cos(x) + sin(x))
• cos(pi/4 + x) = cos(pi/4)cos(x) - sin(pi/4)sin(x) = (sqrt(2)/2)cos(x) - (sqrt(2)/2)sin(x) = (sqrt(2)/2)(cos(x) - sin(x))

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

cos^6(pi/4 - x) = ((sqrt(2)/2)(cos(x) + sin(x)))^6 = (2^(3/2))(cos(x) + sin(x))^6

cos^6(pi/4 + x) = ((sqrt(2)/2)(cos(x) - sin(x)))^6 = (2^(3/2))(cos(x) - sin(x))^6

Таким образом, уравнение можно переписать как:

(2^(3/2))((cos(x) + sin(x))^6 + (cos(x) - sin(x))^6) = 0,5

Теперь упростим это уравнение:

(cos(x) + sin(x))^6 + (cos(x) - sin(x))^6 = 0,5 / (2^(3/2))

Далее, воспользуемся формулой для суммы шестой степени:

Для двух любых чисел a и b справедливо:

• a^6 + b^6 = (a + b)(a^5 - a^4b + a^3b^2 - a^2b^3 + ab^4 - b^5)

Подставим a = cos(x) + sin(x) и b = cos(x) - sin(x):

Сложим a и b:

• a + b = 2cos(x)

Теперь мы можем заметить, что (cos(x) + sin(x))^6 + (cos(x) - sin(x))^6 будет равно 0,5 только в том случае, если оба выражения равны нулю. Следовательно, нам нужно решить:

cos(x) + sin(x) = 0 и cos(x) - sin(x) = 0.

Решим первое уравнение:

• cos(x) + sin(x) = 0 => sin(x) = -cos(x)
• Это происходит, когда x = -pi/4 + k*pi, где k - целое число.

Теперь решим второе уравнение:

• cos(x) - sin(x) = 0 => sin(x) = cos(x)
• Это происходит, когда x = pi/4 + k*pi, где k - целое число.

Таким образом, у нас есть два семейства решений:

• x = -pi/4 + k*pi
• x = pi/4 + k*pi

Теперь вы можете подставить разные значения для k, чтобы получить конкретные решения в пределах заданного интервала.

Таким образом, окончательное решение уравнения:

x = -pi/4 + kpi и x = pi/4 + kpi, где k - целое число.