Как решить уравнение cos(arcsin(5/13) + 4arctg(2/3) и получить точный ответ?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения cos arcsin arctg математика 11 класс точный ответ Тригонометрия уравнения математические функции Новый

Для решения уравнения cos(arcsin(5/13) + 4arctg(2/3)) мы будем использовать формулы тригонометрии и свойства обратных функций.

Шаг 1: Найдем значение arcsin(5/13).

• Пусть α = arcsin(5/13). Тогда sin(α) = 5/13.
• Для нахождения cos(α) воспользуемся теоремой Пифагора: cos(α) = sqrt(1 - sin²(α)).
• Вычислим: cos(α) = sqrt(1 - (5/13)²) = sqrt(1 - 25/169) = sqrt(144/169) = 12/13.

Шаг 2: Найдем значение 4arctg(2/3).

• Пусть β = arctg(2/3). Тогда tg(β) = 2/3.
• Для нахождения sin(β) и cos(β) используем соотношения: sin(β) = 2/√13 и cos(β) = 3/√13, где √(2² + 3²) = √13.
• Теперь найдем значение 4β с помощью формул: sin(4β) = 2sin(2β)cos(2β) и cos(4β) = cos²(2β) - sin²(2β).

Шаг 3: Найдем sin(2β) и cos(2β).

• sin(2β) = 2sin(β)cos(β) = 2 * (2/√13) * (3/√13) = 12/13.
• cos(2β) = cos²(β) - sin²(β) = (3/√13)² - (2/√13)² = 9/13 - 4/13 = 5/13.

Шаг 4: Теперь вычислим sin(4β) и cos(4β).

• sin(4β) = 2sin(2β)cos(2β) = 2 * (12/13) * (5/13) = 120/169.
• cos(4β) = cos²(2β) - sin²(2β) = (5/13)² - (12/13)² = 25/169 - 144/169 = -119/169.

Шаг 5: Теперь можем найти cos(arcsin(5/13) + 4arctg(2/3)) с помощью формулы суммы углов:

• cos(α + 4β) = cos(α)cos(4β) - sin(α)sin(4β).
• Подставим найденные значения:
• cos(α + 4β) = (12/13)(-119/169) - (5/13)(120/169).
• Упростим выражение:
• cos(α + 4β) = -1438/2197 - 600/2197 = -2038/2197.

Таким образом, точный ответ для cos(arcsin(5/13) + 4arctg(2/3)) равен -2038/2197.