Как решить уравнение cos² - 3sinx•cosx + 2sin²x = 2? Срочно нужна помощь!

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения математика 11 класс cos2 sinx помощь по математике тригонометрические уравнения уравнение cos² sinx решение тригонометрических уравнений Новый

Чтобы решить уравнение cos²x - 3sinx•cosx + 2sin²x = 2, давайте начнем с упрощения и преобразования его в более удобный вид.

1. Переносим 2 на левую сторону уравнения:

cos²x - 3sinx•cosx + 2sin²x - 2 = 0

2. Теперь обратим внимание на то, что мы можем использовать тригонометрическую тождество:

cos²x + sin²x = 1

Таким образом, мы можем выразить cos²x через sin²x:

cos²x = 1 - sin²x

3. Подставим это в уравнение:

(1 - sin²x) - 3sinx•cosx + 2sin²x - 2 = 0

4. Упрощаем уравнение:

• 1 - sin²x - 2 - 3sinx•cosx + 2sin²x = 0
• -sin²x - 3sinx•cosx - 1 = 0

5. Умножим уравнение на -1 для упрощения:

sin²x + 3sinx•cosx + 1 = 0

6. Теперь заметим, что у нас есть квадратное уравнение по отношению к sinx. Обозначим sinx = t. Тогда уравнение можно записать как:

t² + 3t•cosx + 1 = 0

7. Теперь воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac, где a = 1, b = 3cosx, c = 1.

Подставляем значения:

D = (3cosx)² - 4*1*1 = 9cos²x - 4

8. Теперь нам нужно, чтобы D было больше или равно нулю для наличия действительных корней:

9cos²x - 4 ≥ 0

Решим это неравенство:

• 9cos²x ≥ 4
• cos²x ≥ 4/9
• cosx ≥ 2/3 или cosx ≤ -2/3

9. Находим значения x, при которых cosx = 2/3 и cosx = -2/3. Это дает нам два набора решений:

• Для cosx = 2/3: x = arccos(2/3) + 2kπ и x = -arccos(2/3) + 2kπ, где k - целое число.
• Для cosx = -2/3: x = arccos(-2/3) + 2kπ и x = -arccos(-2/3) + 2kπ.

10. Подставляем найденные значения обратно в уравнение для sinx и находим соответствующие значения x.

Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения. Обязательно проверьте каждое решение, подставив его обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно действительно является решением.