Как решить уравнение sin(2x) - 2√3 sin²(x + 3π/2) = 0 и найти все его корни, которые находятся в интервале [-5π/2; -π]?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение sin(2x) решить уравнение корни уравнения интервал [-5π/2; -π] sin²(x + 3π/2) математические задачи тригонометрические уравнения Новый

Для решения уравнения sin(2x) - 2√3 sin²(x + 3π/2) = 0 начнем с упрощения выражения.

Первый шаг - преобразуем sin(2x) с помощью формулы: sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Таким образом, уравнение можно записать как:

2sin(x)cos(x) - 2√3 sin²(x + 3π/2) = 0

Теперь упростим sin(x + 3π/2). Мы знаем, что sin(x + 3π/2) = -cos(x), поэтому:

sin²(x + 3π/2) = (-cos(x))² = cos²(x)

Теперь подставим это в уравнение:

2sin(x)cos(x) - 2√3 cos²(x) = 0

Можно вынести общий множитель 2:

2(sin(x)cos(x) - √3 cos²(x)) = 0

Так как 2 не равно 0, мы можем упростить уравнение до:

sin(x)cos(x) - √3 cos²(x) = 0

Теперь перенесем √3 cos²(x) на правую сторону:

sin(x)cos(x) = √3 cos²(x)

Если cos(x) не равно 0, мы можем разделить обе стороны на cos(x):

sin(x) = √3 cos(x)

Теперь мы можем записать это уравнение в виде:

tan(x) = √3

Решением этого уравнения будет:

x = π/3 + kπ, где k - целое число.

Теперь найдем все корни в интервале [-5π/2; -π]. Для этого подставим разные значения k:

1. Для k = -2:

x = π/3 - 2π = π/3 - 6π/3 = -5π/3

2. Для k = -1:

x = π/3 - π = π/3 - 3π/3 = -2π/3

3. Для k = 0:

x = π/3 (это значение не входит в интервал)

Теперь проверим, какие из найденных значений находятся в интервале [-5π/2; -π]:

• -5π/3 (это значение находится в интервале)
• -2π/3 (это значение не входит в интервал)

Таким образом, единственным корнем уравнения в заданном интервале является:

x = -5π/3

Теперь проверим, попадает ли это значение в интервал:

-5π/2 = -7.85 и -π = -3.14, следовательно, -5π/3 = -5.24, что действительно попадает в интервал.

Ответ: x = -5π/3