Как решить уравнение sin(2x) = |cos(x)|? Пожалуйста, объясните подробно, если возможно.

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения sin(2x) cos(x) тригонометрические функции алгебраические уравнения математика 11 класс подробное объяснение методы решения уравнений Новый

Для решения уравнения sin(2x) = |cos(x)| мы будем использовать некоторые тригонометрические тождества и свойства. Давайте разберем это уравнение шаг за шагом.

1. **Используем тождество для sin(2x)**:

• По формуле удвоенного угла, sin(2x) = 2sin(x)cos(x).

Таким образом, мы можем переписать уравнение:

2sin(x)cos(x) = |cos(x)|

2. **Рассмотрим два случая для |cos(x)|**:

• Случай 1: cos(x) >= 0, тогда |cos(x)| = cos(x).
• Случай 2: cos(x) < 0, тогда |cos(x)| = -cos(x).

Теперь решим уравнение для каждого случая.

Случай 1: cos(x) >= 0

В этом случае уравнение становится:

2sin(x)cos(x) = cos(x)

Если cos(x) ≠ 0, мы можем разделить обе стороны на cos(x):

2sin(x) = 1

Отсюда:

sin(x) = 1/2

Решения этого уравнения в пределах одного полного оборота (0, 2π):

• x = π/6 + 2kπ
• x = 5π/6 + 2kπ

где k – любое целое число.

Теперь рассмотрим случай, когда cos(x) = 0:

Это происходит при:

• x = π/2 + kπ

Случай 2: cos(x) < 0

В этом случае уравнение становится:

2sin(x)cos(x) = -cos(x)

Если cos(x) ≠ 0, мы можем разделить обе стороны на cos(x):

2sin(x) = -1

Отсюда:

sin(x) = -1/2

Решения этого уравнения в пределах одного полного оборота (0, 2π):

• x = 7π/6 + 2kπ
• x = 11π/6 + 2kπ

Таким образом, мы нашли все решения уравнения sin(2x) = |cos(x)|:

• x = π/6 + 2kπ
• x = 5π/6 + 2kπ
• x = π/2 + kπ
• x = 7π/6 + 2kπ
• x = 11π/6 + 2kπ

где k – любое целое число. Это и есть полный набор решений данного уравнения.