Как решить уравнение sin(2x) = sin(π/2 + x) и найти все корни этого уравнения, которые находятся в пределах отрезка [-π; π/2]?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения sin(2x) sin(π/2 + x) корни уравнения отрезок [-π; π/2] математика 11 класс тригонометрические уравнения нахождение корней анализ уравнения интервал решений Новый

Чтобы решить уравнение sin(2x) = sin(π/2 + x), начнем с того, что мы можем использовать свойства синуса. Мы знаем, что sin(A) = sin(B) приводит к равенству:

• A = B + 2kπ, где k — целое число;
• A = π - B + 2kπ, где k — целое число.

В нашем случае, A = 2x и B = π/2 + x. Теперь мы рассмотрим оба случая.

1. Первый случай: 2x = π/2 + x + 2kπ

Решим это уравнение:

• 2x - x = π/2 + 2kπ
• x = π/2 + 2kπ.

Теперь подставим различные значения k, чтобы найти решения в пределах отрезка [-π; π/2].

• Для k = 0: x = π/2, что входит в отрезок.
• Для k = -1: x = π/2 - 2π = -3π/2, что не входит в отрезок.
• Для k = 1: x = π/2 + 2π = 5π/2, что также не входит в отрезок.

Таким образом, из первого случая мы получили одно решение: x = π/2.

2. Второй случай: 2x = π - (π/2 + x) + 2kπ

Решим это уравнение:

• 2x = π - π/2 - x + 2kπ
• 2x + x = π - π/2 + 2kπ
• 3x = π/2 + 2kπ.
• x = π/6 + (2/3)kπ.

Теперь подставим различные значения k, чтобы найти решения в пределах отрезка [-π; π/2].

• Для k = 0: x = π/6, что входит в отрезок.
• Для k = -1: x = π/6 - (2/3)π = -π/2, что также входит в отрезок.
• Для k = 1: x = π/6 + (2/3)π = 5π/6, что не входит в отрезок.

Таким образом, из второго случая мы получили два решения: x = π/6 и x = -π/2.

Теперь соберем все найденные решения:

• x = π/2;
• x = π/6;
• x = -π/2.

Таким образом, все корни уравнения sin(2x) = sin(π/2 + x) в пределах отрезка [-π; π/2]:

• x = π/2;
• x = π/6;
• x = -π/2.