Как решить уравнение Sin^4x + cos^4x + cos2x = 0,5?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решить уравнение sin^4x cos^4x cos2x математика тригонометрические функции уравнения решение уравнений Новый

Для решения уравнения Sin^4x + cos^4x + cos2x = 0,5, начнем с упрощения выражения. Мы знаем, что Sin^4x и Cos^4x можно представить через более простые функции. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Используем тригонометрические идентичности: Мы можем воспользоваться тем, что Sin^2x + Cos^2x = 1. Это позволит нам упростить выражение.
2. Применяем формулу для Sin^4x и Cos^4x:
   • Sin^4x = (Sin^2x)^2
   • Cos^4x = (Cos^2x)^2
   • Согласно формуле, Sin^4x + Cos^4x = (Sin^2x + Cos^2x)^2 - 2Sin^2x * Cos^2x = 1 - 2Sin^2x * Cos^2x.
3. Подставляем в уравнение:

   Теперь подставим это выражение в наше уравнение:

   1 - 2Sin^2x * Cos^2x + Cos2x = 0,5.

4. Используем еще одну идентичность:

   Мы знаем, что Cos2x = Cos^2x - Sin^2x = 2Cos^2x - 1 = 1 - 2Sin^2x. Выберем наиболее подходящую для упрощения:

   Cos2x = 1 - 2Sin^2x.

5. Подставляем Cos2x в уравнение:

   Теперь подставим это выражение:

   1 - 2Sin^2x * Cos^2x + (1 - 2Sin^2x) = 0,5.

   Упрощаем:

   2 - 2Sin^2x * Cos^2x - 2Sin^2x = 0,5.

6. Приводим подобные:

   2 - 2Sin^2x * (Cos^2x + 1) = 0,5.

   Умножим обе стороны на -1:

   -2 + 2Sin^2x * (Cos^2x + 1) = -0,5.

7. Решаем уравнение:

   Теперь упростим:

   2Sin^2x * (Cos^2x + 1) = 2,5.

   Sin^2x * (Cos^2x + 1) = 1,25.

8. Заменяем Cos^2x:

   С учетом, что Cos^2x = 1 - Sin^2x, подставим:

   Sin^2x * (2 - Sin^2x) = 1,25.

9. Решаем квадратное уравнение:

   Получаем:

   2Sin^2x - Sin^4x = 1,25.

   Sin^4x - 2Sin^2x + 1,25 = 0.

   Это квадратное уравнение относительно Sin^2x. Обозначим Sin^2x как t:

   t^2 - 2t + 1,25 = 0.

10. Находим корни:

    Решим это уравнение с помощью дискриминанта:

    D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*1*1,25 = 4 - 5 = -1.

    Поскольку дискриминант отрицательный, у уравнения нет действительных корней.

11. Вывод:

    Таким образом, у уравнения Sin^4x + cos^4x + cos2x = 0,5 нет действительных решений.

Если у вас остались вопросы по решению, не стесняйтесь задавать их!