Чтобы решить уравнение sin 5x + cos 5x = √2 с помощью метода вспомогательного аргумента, следуем следующим шагам:

1. Преобразуем левую часть уравнения: Мы знаем, что выражение sin a + cos a можно представить в виде √2 * sin(a + π/4), где a - это угол. Это связано с тем, что sin a и cos a можно рассматривать как координаты точки на единичной окружности.
2. Найдем коэффициенты: В нашем случае, sin 5x + cos 5x можно представить как √2 * sin(5x + π/4). Это означает, что:
   • √2 * sin(5x + π/4) = √2
3. Упростим уравнение: Делим обе стороны на √2 (при этом √2 > 0, так что знак не меняется), получаем:
   • sin(5x + π/4) = 1
4. Решим уравнение: Уравнение sin(θ) = 1 имеет решение, когда θ = π/2 + 2kπ, где k - целое число. Подставляем вместо θ:
   • 5x + π/4 = π/2 + 2kπ
5. Решим относительно x: Переносим π/4 на правую сторону:
   • 5x = π/2 - π/4 + 2kπ
   • 5x = π/4 + 2kπ
   • x = (π/4 + 2kπ) / 5
6. Запишем общее решение: Таким образом, общее решение уравнения будет:
   • x = π/20 + (2kπ)/5, где k - любое целое число.

Таким образом, мы нашли общее решение уравнения sin 5x + cos 5x = √2 с использованием метода вспомогательного аргумента.