Как решить уравнение sin(x) + tg(x) = cos(x) + 1?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения sin(x) tg(x) cos(x) Тригонометрия математический анализ уравнения с тригонометрическими функциями Новый

Чтобы решить уравнение sin(x) + tg(x) = cos(x) + 1, давайте сначала вспомним, что tg(x) можно выразить через sin(x) и cos(x):

tg(x) = sin(x) / cos(x)

Теперь подставим это выражение в уравнение:

sin(x) + sin(x) / cos(x) = cos(x) + 1

Теперь умножим обе стороны уравнения на cos(x) (при условии, что cos(x) ≠ 0):

sin(x) * cos(x) + sin(x) = cos^2(x) + cos(x)

Теперь упростим уравнение:

sin(x) * cos(x) + sin(x) - cos^2(x) - cos(x) = 0

Группируем слагаемые:

sin(x) * (cos(x) + 1) - (cos^2(x) + cos(x)) = 0

Теперь можно выделить общий множитель:

(cos(x) + 1)(sin(x) - cos(x)) = 0

Теперь у нас есть произведение двух множителей, которое равно нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Рассмотрим каждый случай:

1. cos(x) + 1 = 0

Решим это уравнение:

cos(x) = -1

Это происходит, когда:

x = (2k + 1)π, k ∈ Z

2. sin(x) - cos(x) = 0

Решим это уравнение:

sin(x) = cos(x)

Это происходит, когда:

x = π/4 + kπ, k ∈ Z

Таким образом, обобщая все решения, мы получаем:

x = (2k + 1)π, k ∈ Z

x = π/4 + kπ, k ∈ Z

Это и есть все решения данного уравнения.