Как решить уравнение: tg^2*x/2 = 1 - 1/cos^2*x/2?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение tg cos решение математика 11 класс Тригонометрия алгебра квадрат функции Новый

Чтобы решить уравнение tg^2(x/2) = 1 - 1/cos^2(x/2), начнем с упрощения правой части уравнения.

Сначала вспомним, что tg(x) = sin(x)/cos(x), и tg^2(x) = sin^2(x)/cos^2(x). Также мы знаем, что 1/cos^2(x) = sec^2(x). Таким образом, мы можем переписать правую часть уравнения:

1 - 1/cos^2(x/2) = 1 - sec^2(x/2).

Но мы знаем, что sec^2(x) = 1 + tg^2(x). Поэтому:

1 - sec^2(x/2) = 1 - (1 + tg^2(x/2)) = -tg^2(x/2).

Теперь подставим это обратно в уравнение:

tg^2(x/2) = -tg^2(x/2).

Теперь перенесем все члены на одну сторону:

tg^2(x/2) + tg^2(x/2) = 0.

Это упрощается до:

2 * tg^2(x/2) = 0.

Теперь, чтобы это уравнение было истинным, tg^2(x/2) должно быть равно 0:

tg^2(x/2) = 0.

Так как tg^2(x) = 0, это означает, что tg(x/2) = 0.

Функция тангенса равна нулю, когда ее аргумент равен n * π, где n - целое число. Таким образом, мы можем записать:

x/2 = n * π.

Теперь умножим обе стороны уравнения на 2:

x = 2n * π.

Таким образом, общее решение уравнения:

x = 2n * π, где n - целое число.