Как решить уравнение tgx + ctgx = a и определить значение tgx - ctgx?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения tgx ctgx математика 11 класс определение tgx определение ctgx уравнения тригонометрии алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение tgx + ctgx = a и определить значение tgx - ctgx, давайте разберемся с каждым шагом подробно.

1. **Определение функций**: Напомним, что tangens (tg) и котангенс (ctg) связаны между собой следующим образом:

• tgx = sinx / cosx
• ctgx = cosx / sinx

2. **Сложение tg и ctg**: Мы можем выразить tgx + ctgx через синусы и косинусы:

tgx + ctgx = sinx / cosx + cosx / sinx

Чтобы сложить дроби, найдем общий знаменатель:

(sin^2x + cos^2x) / (sinx * cosx)

По известной тригонометрической идентичности, sin^2x + cos^2x = 1. Таким образом:

tgx + ctgx = 1 / (sinx * cosx)

3. **Подстановка в уравнение**: Теперь мы можем подставить это выражение в наше уравнение:

1 / (sinx * cosx) = a

4. **Решение уравнения**: Перепишем уравнение:

sinx * cosx = 1 / a

5. **Определение tgx - ctgx**: Теперь давайте найдем tgx - ctgx. Мы можем выразить это следующим образом:

tgx - ctgx = sinx / cosx - cosx / sinx

Снова найдем общий знаменатель:

(sin^2x - cos^2x) / (sinx * cosx)

6. **Использование известного значения**: Мы уже знаем, что sinx * cosx = 1 / a. Подставим это значение в выражение для tgx - ctgx:

tgx - ctgx = (sin^2x - cos^2x) * a

7. **Дополнительные преобразования**: Обратите внимание, что sin^2x - cos^2x можно также выразить через tangeant:

tg^2x - 1 = (sin^2x - cos^2x) / cos^2x

Таким образом, tgx - ctgx можно выразить через a и tgx.

8. **Подведение итогов**: Мы нашли два выражения:

• tgx + ctgx = a
• tgx - ctgx = (sin^2x - cos^2x) * a

Теперь у вас есть все необходимые шаги для решения уравнения и нахождения значения tgx - ctgx. Если у вас есть конкретное значение a, вы можете подставить его и найти tgx и ctgx, а затем рассчитать tgx - ctgx.