Чтобы вычислить интеграл ∫arctg(5x) dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Этот метод основан на формуле:

∫u dv = uv - ∫v du

Где:

• u - функция, которую мы выбираем для дифференцирования;
• dv - функция, которую мы выбираем для интегрирования.

В нашем случае давайте выберем:

• u = arctg(5x) (функция, которую будем дифференцировать);
• dv = dx (функция, которую будем интегрировать).

Теперь нам нужно найти du и v.

Для нахождения du мы используем производную arctg(x):

du = (1 / (1 + (5x)²)) * 5 dx = (5 / (1 + 25x²)) dx

Теперь найдем v:

v = ∫dx = x

Теперь подставим все найденные значения в формулу интегрирования по частям:

∫arctg(5x) dx = x * arctg(5x) - ∫x * (5 / (1 + 25x²)) dx

Теперь нам нужно вычислить интеграл ∫x * (5 / (1 + 25x²)) dx. Для этого мы можем использовать замену переменной:

Пусть t = 1 + 25x², тогда dt = 50x dx, и отсюда dx = dt / (50x).

Теперь подставим это в интеграл:

∫x * (5 / t) * (dt / (50x)) = (5 / 50) ∫(1/t) dt = (1/10) ln|t| + C

Не забываем вернуть t в исходное выражение:

t = 1 + 25x²

Таким образом, мы получаем:

∫x * (5 / (1 + 25x²)) dx = (1/10) ln|1 + 25x²| + C

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

∫arctg(5x) dx = x * arctg(5x) - (1/10) ln|1 + 25x²| + C

Итак, окончательный ответ:

∫arctg(5x) dx = x * arctg(5x) - (1/10) ln|1 + 25x²| + C