Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=sin x, y=1/2, x=p/6, x=p/6?

Математика 11 класс Интегралы и площади фигур площадь фигуры вычисление площади интеграл y=sin x y=1/2 ограниченные линии математика 11 класс задачи по математике площадь под графиком Новый

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin(x), y = 1/2, x = π/6 и x = π/2, нужно выполнить следующие шаги:

1. Определить точки пересечения линий:
   • Найдем точки пересечения кривой y = sin(x) и линии y = 1/2.
   • Решим уравнение: sin(x) = 1/2.
   • Известно, что sin(x) = 1/2 при x = π/6 и x = 5π/6, но в нашем случае мы ограничены интервалом от x = π/6 до x = π/2.
   • Таким образом, точка пересечения в нужном интервале - это x = π/6.
2. Определить границы интегрирования:
   • Границы интегрирования будут от x = π/6 до x = π/2.
3. Записать интеграл для вычисления площади:
   • Площадь фигуры можно найти, вычислив интеграл от верхней функции (sin(x)) минус нижней функции (1/2) на заданном интервале.
   • Площадь S будет равна: S = ∫[π/6, π/2] (sin(x) - 1/2) dx.
4. Вычислить интеграл:
   • Сначала найдем интеграл от sin(x): ∫sin(x) dx = -cos(x).
   • Интеграл от 1/2: ∫(1/2) dx = (1/2)x.
   • Теперь можем записать общий интеграл: ∫(sin(x) - 1/2) dx = -cos(x) - (1/2)x.
5. Подставить границы интегрирования:
   • Теперь подставим границы в полученный интеграл:
   • S = [-cos(x) - (1/2)x] от π/6 до π/2.
   • Подставляем верхнюю границу (π/2):
   • -cos(π/2) - (1/2)(π/2) = 0 - (π/4) = -π/4.
   • Теперь подставляем нижнюю границу (π/6):
   • -cos(π/6) - (1/2)(π/6) = -√3/2 - (π/12).
6. Вычислить разность:
   • Теперь вычтем значение нижней границы из верхней:
   • S = [-π/4] - [-√3/2 - (π/12)] = -π/4 + √3/2 + π/12.
   • Упрощаем выражение, приведя к общему знаменателю (12):
   • S = [-3π/12 + 6√3/12 + π/12] = [(-3π + π + 6√3)/12] = [(6√3 - 2π)/12].

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна (6√3 - 2π)/12.