Как вычислить производную функции y=Ln(x^4*arctg(2x)-((5^x)/cos^7(3x)))?

Обратите внимание, что cos возводится в степень 7, а 3x относится к числовому значению. Если возможно, пожалуйста, приведите решение.

Математика 11 класс Производная функции производная функции вычисление производной ln(x) arctg(2x) cos^7(3x) математика 11 класс решение задачи правила дифференцирования Новый

Для вычисления производной функции y = ln(x^4 * arctg(2x) - (5^x) / cos^7(3x)) нам нужно использовать правило производной сложной функции и правила производной для произведения и частного. Давайте разберем шаги по порядку.

Шаг 1: Применение правила производной логарифмической функции

Если у нас есть функция вида y = ln(u), то производная этой функции вычисляется по формуле:

• y' = (1/u) * u',

где u - это подлогарифмическое выражение. В нашем случае:

u = x^4 * arctg(2x) - (5^x) / cos^7(3x)

Шаг 2: Находим производную u'

Для этого воспользуемся правилом производной для произведения и частного.

Разделим u на две части:

• u1 = x^4 * arctg(2x),
• u2 = (5^x) / cos^7(3x).

Теперь найдем производные этих частей:

Для u1 = x^4 * arctg(2x):

• Используем правило произведения: (u1)' = (x^4)' * arctg(2x) + x^4 * (arctg(2x))'.
• Производная (x^4)' = 4x^3.
• Чтобы найти (arctg(2x))', используем формулу: (arctg(kx))' = k / (1 + (kx)^2). В нашем случае k = 2, поэтому (arctg(2x))' = 2 / (1 + (2x)^2) = 2 / (1 + 4x^2).
• Теперь подставим: (u1)' = 4x^3 * arctg(2x) + x^4 * (2 / (1 + 4x^2)).

Для u2 = (5^x) / cos^7(3x):

• Используем правило частного: (u2)' = (5^x)' * cos^7(3x) - 5^x * (cos^7(3x))' / (cos^7(3x))^2.
• Производная (5^x)' = 5^x * ln(5).
• Чтобы найти (cos^7(3x))', используем цепное правило: (cos^7(3x))' = 7 * cos^6(3x) * (cos(3x))', где (cos(3x))' = -3sin(3x).
• Таким образом, (cos^7(3x))' = -21 * cos^6(3x) * sin(3x).
• Теперь подставим: (u2)' = 5^x * ln(5) * cos^7(3x) + 21 * 5^x * cos^6(3x) * sin(3x).

Шаг 3: Собираем все вместе

Теперь мы можем найти u':

u' = (u1)' - (u2)' = (4x^3 * arctg(2x) + x^4 * (2 / (1 + 4x^2))) - (5^x * ln(5) * cos^7(3x) + 21 * 5^x * cos^6(3x) * sin(3x)).

Шаг 4: Подставляем в формулу производной логарифмической функции

Теперь мы можем найти производную y':

y' = (1/u) * u'.

Таким образом, окончательная производная функции будет выглядеть так:

y' = (1/(x^4 * arctg(2x) - (5^x) / cos^7(3x))) * ((4x^3 * arctg(2x) + x^4 * (2 / (1 + 4x^2))) - (5^x * ln(5) * cos^7(3x) + 21 * 5^x * cos^6(3x) * sin(3x))).

Это и есть ответ на ваш вопрос о производной данной функции.