Чтобы вычислить производную функции y = √x(√x + 1),мы воспользуемся правилом произведения. Правило произведения гласит, что если у нас есть две функции u и v, то производная их произведения y = u * v вычисляется по формуле:

(uv)' = u'v + uv'

Теперь давайте определим наши функции:

• u = √x
• v = √x + 1

Теперь нам нужно найти производные u и v:

1. Для u = √x, мы можем переписать его как x^(1/2). Используя правило степени, мы получаем:
• u' = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x)
2. Для v = √x + 1, мы опять используем производную √x:
• v' = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x)

Теперь, имея u, v, u' и v', подставим все в формулу для производной произведения:

y' = u'v + uv'

Подставим найденные значения:

y' = (1/(2√x))(√x + 1) + (√x)(1/(2√x))

Теперь упростим каждую часть:

1. Первая часть: (1/(2√x))(√x + 1) = (1/2)(1 + 1/√x) = 1/2 + 1/(2√x)
2. Вторая часть: (√x)(1/(2√x)) = 1/2

Теперь сложим обе части:

y' = (1/2 + 1/(2√x)) + (1/2) = 1 + 1/(2√x)

Таким образом, производная функции y = √x(√x + 1) равна:

y' = 1 + 1/(2√x)