Как вычислить производную функции y, заданной формулой y = (x^2 * arctg(5x)) / 2?

Математика 11 класс Производная функции производная функции вычисление производной y = (x^2 * arctg(5x)) / 2 математика 11 класс правила дифференцирования Новый

Чтобы вычислить производную функции y = (x^2 * arctg(5x)) / 2, мы будем использовать правило производной для произведения и правило производной для сложной функции. Давайте разберем процесс шаг за шагом.

1. Определим функцию:

   y = (1/2) * (x^2 * arctg(5x)).

2. Применим правило производной для произведения:

   Если u = x^2 и v = arctg(5x), то производная произведения uv равна:

   (uv)' = u'v + uv', где u' и v' - производные функций u и v соответственно.

3. Найдем производные u и v:
   • u = x^2:

     Производная u' = 2x.

   • v = arctg(5x):

     Для нахождения производной v используем правило производной сложной функции:

     v' = 1 / (1 + (5x)^2) * (5) = 5 / (1 + 25x^2).

4. Теперь подставим u, u', v и v' в формулу для производной произведения:

   y' = (1/2) * (u'v + uv') = (1/2) * (2x * arctg(5x) + x^2 * (5 / (1 + 25x^2))).

5. Упростим выражение:

   y' = (1/2) * (2x * arctg(5x) + (5x^2) / (1 + 25x^2)).

   Это можно записать как:

   y' = x * arctg(5x) + (5x^2) / (2(1 + 25x^2)).

Таким образом, окончательный ответ для производной функции y будет:

y' = x * arctg(5x) + (5x^2) / (2(1 + 25x^2)).