Как вычислить sin(3pi − 4x), если tg x = −2/3?

Математика 11 класс Тригонометрические функции вычислить sin(3pi − 4x) tg x = −2/3 тригонометрические функции Новый

Чтобы вычислить sin(3pi − 4x), нам нужно использовать некоторые тригонометрические идентичности и свойства. Начнем с того, что у нас есть tg x = -2/3. Это значение тангенса позволит нам найти синус и косинус угла x.

Шаг 1: Найдем sin x и cos x.

Мы знаем, что:

• tg x = sin x / cos x.

Так как tg x = -2/3, мы можем представить это как:

• sin x = -2k,
• cos x = 3k,

где k - это некоторая положительная константа. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения k:

• sin² x + cos² x = 1.

Подставим значения:

• (-2k)² + (3k)² = 1,
• 4k² + 9k² = 1,
• 13k² = 1,
• k² = 1/13,
• k = 1/√13.

Теперь подставим значение k обратно, чтобы найти sin x и cos x:

• sin x = -2(1/√13) = -2/√13,
• cos x = 3(1/√13) = 3/√13.

Шаг 2: Теперь найдем sin(3pi − 4x).

Используем формулу для синуса разности:

• sin(a - b) = sin a * cos b - cos a * sin b.

В нашем случае a = 3pi и b = 4x:

• sin(3pi) = 0,
• cos(3pi) = -1.

Теперь подставляем в формулу:

• sin(3pi − 4x) = sin(3pi) * cos(4x) - cos(3pi) * sin(4x.

Так как sin(3pi) = 0, то:

• sin(3pi − 4x) = 0 * cos(4x) - (-1) * sin(4x = sin(4x).

Шаг 3: Найдем sin(4x).

Используем формулу для синуса удвоенного угла:

• sin(2a) = 2 * sin a * cos a.

Сначала найдем sin(2x) и cos(2x):

• sin(2x) = 2 * sin x * cos x = 2 * (-2/√13) * (3/√13) = -12/13.
• cos(2x) = cos² x - sin² x = (3/√13)² - (-2/√13)² = 9/13 - 4/13 = 5/13.

Теперь найдем sin(4x):

• sin(4x) = 2 * sin(2x) * cos(2x) = 2 * (-12/13) * (5/13) = -120/169.

Шаг 4: Подставим значение sin(4x) обратно.

Теперь мы можем подставить это значение обратно в нашу формулу:

• sin(3pi − 4x) = sin(4x) = -120/169.

Ответ: sin(3pi − 4x) = -120/169.