Как выполнить интегрирование по частям для выражения ∫(x-2) e^-2x dx + ln(x+1)dx?

Математика 11 класс Интегралы интегрирование по частям интеграл ∫(x-2) e^-2x dx ln(x+1)dx методы интегрирования математический анализ Новый

Чтобы выполнить интегрирование по частям для выражения ∫(x-2)e^-2x dx + ∫ln(x+1) dx, давайте разберем каждую часть по отдельности.

1. Интегрирование ∫(x-2)e^-2x dx:

Для интегрирования по частям используем формулу:

∫u dv = uv - ∫v du

Выберем:

• u = (x - 2) (тогда du = dx)
• dv = e^-2x dx (тогда v = -0.5 e^-2x, так как интеграл e^-2x dx равен -0.5 e^-2x)

Теперь подставим в формулу интегрирования по частям:

∫(x - 2)e^-2x dx = (x - 2)(-0.5 e^-2x) - ∫(-0.5 e^-2x) dx

Упрощаем:

= -0.5(x - 2)e^-2x + 0.5∫e^-2x dx

Теперь вычислим ∫e^-2x dx:

∫e^-2x dx = -0.5 e^-2x

Таким образом, подставляем обратно:

= -0.5(x - 2)e^-2x - 0.25 e^-2x + C

2. Интегрирование ∫ln(x + 1) dx:

Для интегрирования этого выражения также воспользуемся методом интегрирования по частям. Выберем:

• u = ln(x + 1) (тогда du = (1/(x + 1)) dx)
• dv = dx (тогда v = x)

Теперь подставим в формулу:

∫ln(x + 1) dx = xln(x + 1) - ∫x * (1/(x + 1)) dx

Упрощаем второй интеграл:

∫(x/(x + 1)) dx = ∫(1 - 1/(x + 1)) dx = ∫dx - ∫(1/(x + 1)) dx

= x - ln(x + 1)

Теперь подставляем это обратно:

∫ln(x + 1) dx = xln(x + 1) - (x - ln(x + 1)) + C

= xln(x + 1) - x + ln(x + 1) + C

Итак, обобщая:

∫(x - 2)e^-2x dx + ∫ln(x + 1) dx = -0.5(x - 2)e^-2x - 0.25 e^-2x + xln(x + 1) - x + ln(x + 1) + C.

Это и будет окончательный ответ.