Какое наименьшее значение принимает функция y=2x 8/x 16 на отрезке [0.5 ; 19]?

Математика 11 класс Оптимизация функции наименьшее значение функции функция y=2x 8/x 16 отрезок [0.5 ; 19] математика 11 класс анализ функции минимальное значение график функции Новый

Чтобы найти наименьшее значение функции y = 2x + 8/x + 16 на отрезке [0.5; 19], следуем следующим шагам:

1. Определим область определения функции:
   • Функция определена для всех x, кроме x = 0, так как в этом случае мы делим на ноль. Однако, на нашем отрезке [0.5; 19] x всегда больше 0, значит, функция определена на всем отрезке.
2. Найдём производную функции:
   • Запишем функцию в более удобной форме: y = 2x + 8/x + 16.
   • Найдём производную: y' = 2 - 8/x².
3. Найдем критические точки:
   • Приравняем производную к нулю: 2 - 8/x² = 0.
   • Решим уравнение: 2 = 8/x², откуда x² = 8/2 = 4, следовательно, x = 2 (так как x > 0).
4. Теперь проверим значения функции на концах отрезка и в критической точке:
   • Подставим x = 0.5: y(0.5) = 2(0.5) + 8/0.5 + 16 = 1 + 16 + 16 = 33.
   • Подставим x = 2: y(2) = 2(2) + 8/2 + 16 = 4 + 4 + 16 = 24.
   • Подставим x = 19: y(19) = 2(19) + 8/19 + 16 = 38 + 0.421 + 16 ≈ 54.421.
5. Сравним значения:
   • y(0.5) = 33,
   • y(2) = 24,
   • y(19) ≈ 54.421.
6. Вывод:
   • Наименьшее значение функции на отрезке [0.5; 19] равно 24 и достигается при x = 2.

Таким образом, наименьшее значение функции y = 2x + 8/x + 16 на отрезке [0.5; 19] равно 24.