Каковы максимальное и минимальное значения функции y = x^4 - 2x^2 + 1 на интервале от -1 до 1?

Математика 11 класс Оптимизация функции максимальное значение функции минимальное значение функции y = x^4 - 2x^2 + 1 интервал от -1 до 1 анализ функции Новый

Чтобы найти максимальное и минимальное значения функции y = x^4 - 2x^2 + 1 на интервале от -1 до 1, мы будем следовать нескольким шагам:

1. Найдем производную функции.

   Сначала найдем производную функции, чтобы определить критические точки, где функция может принимать максимумы или минимумы. Производная функции y = x^4 - 2x^2 + 1 будет:

   y' = 4x^3 - 4x.

2. Найдем критические точки.

   Теперь приравняем производную к нулю:

   4x^3 - 4x = 0.

   Выносим общий множитель:

   4x(x^2 - 1) = 0.

   Это уравнение имеет решения:

   • x = 0,
   • x^2 - 1 = 0, что дает x = 1 и x = -1.
3. Определим значения функции в критических точках и на границах интервала.

   Теперь мы должны вычислить значение функции y в найденных критических точках и на границах интервала [-1, 1]:

   • y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0,
   • y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1,
   • y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0.
4. Сравним значения.

   Теперь сравним все значения, которые мы нашли:

   • y(-1) = 0,
   • y(0) = 1,
   • y(1) = 0.

   Максимальное значение функции на интервале [-1, 1] равно 1, а минимальное значение равно 0.

Ответ: Максимальное значение функции y = x^4 - 2x^2 + 1 на интервале от -1 до 1 равно 1, минимальное значение равно 0.