Какое значение имеет выражение tg³a - ctg³a, если известно, что tg a - ctg a = 3?

Математика 11 класс Тригонометрические функции tg³a ctg³a tg a ctg a значение выражения математика 11 класс Новый

Давайте разберем данное выражение шаг за шагом. Нам известно, что:

tg a - ctg a = 3

Мы можем обозначить:

x = tg a

y = ctg a

Тогда у нас есть:

x - y = 3

Также мы знаем, что:

ctg a = 1/tg a

Следовательно, y = 1/x.

Теперь подставим это значение в наше уравнение:

x - 1/x = 3

Теперь умножим обе стороны уравнения на x, чтобы избавиться от дроби:

1. x² - 1 = 3x

Перепишем уравнение:

1. x² - 3x - 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

D = b² - 4ac

где a = 1, b = -3, c = -1.

Подставим значения:

1. D = (-3)² - 4 * 1 * (-1) = 9 + 4 = 13

Теперь находим корни уравнения:

1. x = (3 ± √13) / 2

Теперь, когда мы нашли x, можем найти y:

y = 1/x

Теперь нам нужно найти значение выражения tg³a - ctg³a. Мы можем выразить это как:

tg³a - ctg³a = x³ - y³

Согласно формуле разности кубов, мы можем записать:

x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)

Мы уже знаем, что x - y = 3. Теперь нам нужно найти x² + xy + y².

Сначала найдем xy:

xy = tg a * ctg a = 1

Теперь подставим значения:

x² + xy + y² = x² + 1 + y²

Для нахождения x² + y² воспользуемся формулой:

x² + y² = (x - y)² + 2xy

Подставим известные значения:

1. x² + y² = (3)² + 2 * 1 = 9 + 2 = 11

Теперь подставим это в выражение:

1. x² + xy + y² = 11 + 1 = 12

Теперь мы можем найти значение tg³a - ctg³a:

1. tg³a - ctg³a = (x - y)(x² + xy + y²) = 3 * 12 = 36

Ответ: tg³a - ctg³a = 36