Чтобы решить неравенство tg(2x + 2π/3) ≤ √3/3, начнем с анализа самого неравенства.

Шаг 1: Определение угла, при котором тангенс равен √3/3.

Мы знаем, что tg(π/6) = √3/3. Однако тангенс является периодической функцией с периодом π, поэтому можно записать:

• tg(π/6 + kπ) = √3/3, где k — любое целое число.

Шаг 2: Запишем неравенство в виде:

• tg(2x + 2π/3) ≤ tg(π/6 + kπ).

Шаг 3: Используем свойства тангенса.

Так как тангенс — это возрастающая функция на промежутке, где он определен, мы можем записать следующее неравенство:

• 2x + 2π/3 ≤ π/6 + kπ.
• или 2x + 2π/3 ≥ π/6 + (k-1)π.

Шаг 4: Решим первое неравенство.

1. 2x + 2π/3 ≤ π/6 + kπ
2. 2x ≤ π/6 - 2π/3 + kπ
3. 2x ≤ π/6 - 4π/6 + kπ
4. 2x ≤ -3π/6 + kπ
5. 2x ≤ -π/2 + kπ
6. x ≤ -π/4 + kπ/2.

Шаг 5: Решим второе неравенство.

1. 2x + 2π/3 ≥ π/6 + (k-1)π
2. 2x ≥ π/6 - 2π/3 + (k-1)π
3. 2x ≥ π/6 - 4π/6 + (k-1)π
4. 2x ≥ -3π/6 + (k-1)π
5. 2x ≥ -π/2 + (k-1)π
6. x ≥ -π/4 + (k-1)π/2.

Шаг 6: Объединяем оба результата.

Теперь у нас есть два неравенства:

• x ≤ -π/4 + kπ/2
• x ≥ -π/4 + (k-1)π/2.

Эти два неравенства определяют промежутки для x. Мы можем подставить различные значения k, чтобы найти конкретные решения.

Шаг 7: Пример подстановки k = 0 и k = 1.

• Для k = 0: x ≤ -π/4 и x ≥ -π/4, что дает решение x = -π/4.
• Для k = 1: x ≤ π/4 и x ≥ -π/4, что дает промежуток (-π/4, π/4).

Таким образом, окончательное решение неравенства tg(2x + 2π/3) ≤ √3/3 будет представлено в виде:

x ∈ [-π/4 + kπ/2, -π/4 + (k-1)π/2], где k — целое число.