Каков интеграл от 0 до 1 для выражения xdx/(x^2 + 1)^2?

Математика 11 класс Интегралы и интегральное исчисление интеграл математика 11 класс xdx (x^2 + 1)^2 интегрирование пределы интегрирования Новый

Чтобы найти интеграл от 0 до 1 для выражения (x dx)/(x^2 + 1)^2, мы можем использовать метод подстановки. Давайте рассмотрим шаги решения.

1. Подстановка: Мы можем сделать подстановку u = x^2 + 1. Тогда, дифференцируя, получаем du = 2x dx, или dx = du/(2x). Заметим, что x = sqrt(u - 1).
2. Изменение пределов интегрирования: Когда x = 0, u = 0^2 + 1 = 1. Когда x = 1, u = 1^2 + 1 = 2. Таким образом, наш новый предел интегрирования будет от 1 до 2.
3. Замена в интеграле: Теперь подставим u в исходное выражение:
   • Интеграл становится: ∫ (sqrt(u - 1) / u^2) * (du / (2 * sqrt(u - 1))).
   • Упростим: ∫ (1 / (2u^2)) du.
4. Интегрирование: Интеграл ∫ (1 / (2u^2)) du равен -1/(2u). Не забудем добавить пределы интегрирования от 1 до 2.
5. Подставляем пределы:
   • Подставляем верхний предел: -1/(2 * 2) = -1/4.
   • Подставляем нижний предел: -1/(2 * 1) = -1/2.
   Теперь вычтем: -1/4 - (-1/2) = -1/4 + 1/2 = -1/4 + 2/4 = 1/4.

Таким образом, значение интеграла от 0 до 1 для выражения (x dx)/(x^2 + 1)^2 равно 1/4.