Какова площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями:

• y = 1 - x^2
• y = -x - 1

Математика 11 класс Интегралы и площади фигур площадь криволинейной трапеции математика 11 класс интегралы функции графики нахождение площади задачи по математике Новый

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривыми y = 1 - x^2 и y = -x - 1, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти точки пересечения кривых.

Для этого приравняем обе функции:

1 - x^2 = -x - 1.

Переносим все члены в одну сторону:

x^2 - x - 2 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9.

Корни уравнения:

x1 = (1 + 3) / 2 = 2, x2 = (1 - 3) / 2 = -1.

Итак, точки пересечения находятся в x = -1 и x = 2.

2. Определить площадь между кривыми.

Площадь можно найти, вычислив интеграл от разности функций на интервале от -1 до 2:

Площадь = ∫ от -1 до 2 (верхняя функция - нижняя функция) dx.

В нашем случае верхней функцией является y = 1 - x^2, а нижней y = -x - 1.

Таким образом, площадь будет равна:

Площадь = ∫ от -1 до 2 ((1 - x^2) - (-x - 1)) dx.

Упрощаем выражение:

Площадь = ∫ от -1 до 2 (1 - x^2 + x + 1) dx = ∫ от -1 до 2 (-x^2 + x + 2) dx.

3. Вычислить интеграл.

Теперь найдем определенный интеграл:

∫ (-x^2 + x + 2) dx = (-1/3)x^3 + (1/2)x^2 + 2x.

Теперь подставим пределы интегрирования:

Подставляем x = 2:

(-1/3)(2^3) + (1/2)(2^2) + 2(2) = (-8/3) + 2 + 4 = (-8/3) + 6/3 = (-8/3) + (18/3) = 10/3.

Теперь подставляем x = -1:

(-1/3)(-1^3) + (1/2)(-1^2) + 2(-1) = (1/3) + (1/2) - 2 = (1/3) + (3/6) - (12/6) = (1/3) - (9/6) = (2/6) - (9/6) = -7/6.

Теперь вычтем: 10/3 - (-7/6).

Приведем к общему знаменателю:

10/3 = 20/6, тогда 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2.

4. Ответ.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, равна 9/2.