Какова сумма корней уравнения 10sin(2x)cos(2x) - sin(4x)cos(5x) = 0 в промежутке от 180 градусов до 300 градусов?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения сумма корней уравнения 10sin(2x)cos(2x) sin(4x)cos(5x) промежуток 180-300 градусов решение уравнения Новый

Чтобы найти сумму корней уравнения 10sin(2x)cos(2x) - sin(4x)cos(5x) = 0 в промежутке от 180 градусов до 300 градусов, начнем с упрощения уравнения.

Первым делом, воспользуемся тригонометрическими идентичностями:

• sin(2x) = 2sin(x)cos(x)
• sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)

Заменим sin(4x) в уравнении:

• sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) = 2(2sin(x)cos(x))(cos(2x)) = 4sin(x)cos(x)cos(2x)

Теперь подставим это обратно в уравнение:

10sin(2x)cos(2x) - 4sin(x)cos(x)cos(2x) = 0

Теперь мы можем вынести общий множитель:

sin(2x)cos(2x)(10 - 4cos(x)) = 0

Теперь у нас есть два множителя, которые равны нулю:

1. sin(2x) = 0
2. 10 - 4cos(x) = 0

Решим первое уравнение:

sin(2x) = 0

Это уравнение выполняется, когда 2x = nπ, где n - целое число. Следовательно, x = nπ/2.

В промежутке от 180 до 300 градусов (или от π до 5π/3 радиан) получаем:

• n = 1: x = π/2 (90 градусов - не подходит)
• n = 2: x = π (180 градусов - подходит)
• n = 3: x = 3π/2 (270 градусов - подходит)
• n = 4: x = 2π (360 градусов - не подходит)

Таким образом, корни из первого уравнения: x = 180 градусов и x = 270 градусов.

Теперь решим второе уравнение:

10 - 4cos(x) = 0

4cos(x) = 10

cos(x) = 10/4 = 2.5

Это значение невозможно, так как косинус не может превышать 1.

Таким образом, единственные корни уравнения в заданном промежутке: 180 градусов и 270 градусов.

Теперь найдем сумму корней:

180 + 270 = 450 градусов.

Ответ: Сумма корней уравнения в промежутке от 180 до 300 градусов равна 450 градусов.