Какова сумма корней уравнения cos⁵(π/2 - 2x) + cos⁴(2x) = 1 на промежутке [0; π]?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения сумма корней уравнение cos промежуток математика 11 класс Новый

Для решения уравнения cos⁵(π/2 - 2x) + cos⁴(2x) = 1 начнем с преобразования левой части уравнения.

Используем тригонометрическую идентичность: cos(π/2 - θ) = sin(θ). Таким образом, мы можем переписать первое слагаемое:

• cos⁵(π/2 - 2x) = sin⁵(2x)

Теперь уравнение выглядит так:

sin⁵(2x) + cos⁴(2x) = 1

Теперь заметим, что для любых значений sin(θ) и cos(θ) выполняется равенство:

sin²(θ) + cos²(θ) = 1

Таким образом, мы можем выразить cos²(2x) через sin²(2x):

• cos²(2x) = 1 - sin²(2x)

Теперь подставим это в уравнение:

sin⁵(2x) + (1 - sin²(2x))² = 1

Раскроем скобки:

• (1 - sin²(2x))² = 1 - 2sin²(2x) + sin⁴(2x)

Теперь подставим это обратно в уравнение:

sin⁵(2x) + 1 - 2sin²(2x) + sin⁴(2x) = 1

Упрощаем уравнение, убирая единицы:

sin⁵(2x) + sin⁴(2x) - 2sin²(2x) = 0

Факторизуем это уравнение:

• sin²(2x)(sin³(2x) + sin²(2x) - 2) = 0

Теперь у нас есть два множителя:

1. sin²(2x) = 0
2. sin³(2x) + sin²(2x) - 2 = 0

Решим первый множитель:

sin²(2x) = 0

Это дает нам:

• 2x = kπ, где k - целое число
• x = kπ/2

На промежутке [0; π] возможные значения:

• x = 0
• x = π/2

Теперь решим второй множитель:

sin³(2x) + sin²(2x) - 2 = 0

Обозначим y = sin(2x). Тогда уравнение становится:

y³ + y² - 2 = 0

Это кубическое уравнение, которое можно решить, например, методом подбора корней. Подберем целые корни:

• y = 1: 1³ + 1² - 2 = 0

Таким образом, y = 1 является корнем. Теперь можем разложить уравнение:

(y - 1)(y² + 2y + 2) = 0

Второй множитель не имеет действительных корней (дискриминант меньше нуля). Таким образом, y = 1 единственный действительный корень.

Теперь вернемся к sin(2x) = 1, что дает:

• 2x = π/2 + 2kπ
• x = π/4 + kπ

На промежутке [0; π] возможное значение:

• x = π/4

Теперь у нас есть три корня уравнения:

• x = 0
• x = π/2
• x = π/4

Теперь найдем сумму корней:

0 + π/2 + π/4 = π/2 + π/4 = 2π/4 + π/4 = 3π/4

Таким образом, сумма корней уравнения на промежутке [0; π] равна 3π/4.