Какова сумма значений выражения cos(π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7)?

Математика 11 класс Тригонометрические функции сумма значений выражение cos π/7 cos(4π/7) cos(6π/7) математика 11 класс Новый

Для нахождения суммы значений выражения cos(π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) мы можем воспользоваться свойствами косинуса и некоторыми тригонометрическими формулами.

Шаг 1: Используем формулу суммы косинусов.

Сначала заметим, что углы 4π/7 и 6π/7 можно выразить через cos(π/7). Мы можем использовать формулу для суммы косинусов:

cos(a) + cos(b) = 2 * cos((a + b)/2) * cos((a - b)/2).

Применим эту формулу к паре косинусов:

• a = 4π/7, b = 6π/7.

Теперь вычислим (a + b)/2 и (a - b)/2:

• (4π/7 + 6π/7)/2 = (10π/7)/2 = 5π/7,
• (4π/7 - 6π/7)/2 = (-2π/7)/2 = -π/7.

Таким образом, мы можем записать:

cos(4π/7) + cos(6π/7) = 2 * cos(5π/7) * cos(-π/7).

Так как cos(-x) = cos(x), то получаем:

cos(4π/7) + cos(6π/7) = 2 * cos(5π/7) * cos(π/7).

Шаг 2: Подставляем в исходное выражение.

Теперь подставим это выражение в сумму:

cos(π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) = cos(π/7) + 2 * cos(5π/7) * cos(π/7).

Соберем подобные слагаемые:

cos(π/7) * (1 + 2 * cos(5π/7)).

Шаг 3: Вычисляем cos(5π/7).

Заметим, что cos(5π/7) = -cos(2π/7), так как 5π/7 и 2π/7 - это углы, которые находятся в разных четвертях. Теперь подставим это значение:

cos(π/7) * (1 - 2 * cos(2π/7)).

Шаг 4: Используем известное значение.

Существует известное тригонометрическое тождество для суммы косинусов:

cos(π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) = 1/2.

Так как мы пришли к известному результату, то сумма значений выражения:

cos(π/7) + cos(4π/7) + cos(6π/7) = 1/2.