Какова величина выражения sin 18° * sin 54°?

Математика 11 класс Тригонометрические функции величина выражения sin 18° sin 54° математика 11 класс Тригонометрия вычисление синуса Новый

Чтобы найти величину выражения sin 18° * sin 54°, давайте воспользуемся некоторыми тригонометрическими свойствами и формулами.

Сначала заметим, что угол 54° можно выразить через угол 18°:

• 54° = 90° - 36°
• 36° = 2 * 18°

Теперь воспользуемся формулой произведения синусов:

sin A * sin B = 1/2 [cos(A - B) - cos(A + B)

В нашем случае A = 18° и B = 54°:

• A - B = 18° - 54° = -36°
• A + B = 18° + 54° = 72°

Подставим эти значения в формулу:

sin 18° * sin 54° = 1/2 [cos(-36°) - cos(72°)]

Теперь используем свойства косинуса:

• cos(-x) = cos(x), следовательно, cos(-36°) = cos(36°)

Теперь подставим это в выражение:

sin 18° * sin 54° = 1/2 [cos(36°) - cos(72°)]

Теперь вспомним, что cos(72°) = sin(18°) (по тригонометрическим соотношениям):

Таким образом, мы можем переписать:

sin 18° * sin 54° = 1/2 [cos(36°) - sin(18°)]

Теперь нам нужно знать значения cos(36°) и sin(18°). Известно, что:

• cos(36°) = (sqrt(5) + 1) / 4
• sin(18°) = (sqrt(5) - 1) / 4

Теперь подставим эти значения в наше выражение:

sin 18° * sin 54° = 1/2 [((sqrt(5) + 1) / 4) - ((sqrt(5) - 1) / 4)]

Теперь упростим это:

• sin 18° * sin 54° = 1/2 * [((sqrt(5) + 1) - (sqrt(5) - 1)) / 4]
• sin 18° * sin 54° = 1/2 * [(sqrt(5) + 1 - sqrt(5) + 1) / 4]
• sin 18° * sin 54° = 1/2 * [2 / 4]
• sin 18° * sin 54° = 1/2 * (1/2)
• sin 18° * sin 54° = 1/4

Таким образом, величина выражения sin 18° * sin 54° равна 1/4.