Каково значение предела lim x стремится к 0 (cos(5x) - cos(3x)) / sin(2^x)?

Математика 11 класс Пределы функций предел математика 11 класс cos sin значение предела lim x стремится к 0 тригонометрические функции Новый

Чтобы найти предел lim x стремится к 0 (cos(5x) - cos(3x)) / sin(2^x), мы будем использовать некоторые известные пределы и свойства тригонометрических функций.

Шаг 1: Рассмотрим числитель. Мы можем использовать формулу разности косинусов:

• cos(a) - cos(b) = -2 * sin((a + b)/2) * sin((a - b)/2)

В нашем случае a = 5x и b = 3x. Подставим эти значения в формулу:

• cos(5x) - cos(3x) = -2 * sin((5x + 3x)/2) * sin((5x - 3x)/2)
• cos(5x) - cos(3x) = -2 * sin(4x) * sin(x)

Шаг 2: Теперь подставим это в наш предел:

lim x стремится к 0 (cos(5x) - cos(3x)) / sin(2^x) = lim x стремится к 0 (-2 * sin(4x) * sin(x)) / sin(2^x)

Шаг 3: Теперь рассмотрим знаменатель. Когда x стремится к 0, 2^x стремится к 1, и sin(2^x) стремится к sin(1). Однако, чтобы упростить, мы можем использовать следующее приближение для малых значений:

• sin(2^x) ≈ 2^x (так как sin(t) ≈ t при t стремящемся к 0)

Шаг 4: Теперь мы можем подставить это приближение в наш предел:

lim x стремится к 0 (-2 * sin(4x) * sin(x)) / (2^x)

Шаг 5: Теперь рассмотрим sin(4x) и sin(x). Для малых x мы можем использовать следующее приближение:

• sin(kx) ≈ kx

Таким образом:

• sin(4x) ≈ 4x
• sin(x) ≈ x

Шаг 6: Подставим эти приближения в предел:

lim x стремится к 0 (-2 * (4x) * (x)) / (2^x) = lim x стремится к 0 (-8x^2) / (2^x)

Шаг 7: Теперь мы можем заметить, что при x стремящемся к 0, 2^x стремится к 1. Таким образом, наш предел становится:

lim x стремится к 0 -8x^2 / 1 = 0

Итак, окончательное значение предела:

Ответ: 0