Чтобы найти локальный максимум функции y = x - 2 arctg x, нам нужно выполнить несколько шагов, связанных с нахождением производной и её анализом.

1. Найдем производную функции. Для этого воспользуемся правилами дифференцирования. Производная arctg x равна 1/(1 + x^2). Таким образом, производная функции y будет равна:
• y' = 1 - 2 * (1/(1 + x^2)) = 1 - 2/(1 + x^2).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
• 1 - 2/(1 + x^2) = 0.
• 2/(1 + x^2) = 1.
• 2 = 1 + x^2.
• x^2 = 1.
• x = ±1.

Теперь у нас есть две критические точки: x = 1 и x = -1.

3. Определим, является ли каждая из критических точек максимумом или минимумом, используя второй производный тест:
• Найдем вторую производную y''.
• y'' = d/dx(1 - 2/(1 + x^2)) = 0 + 2 * (2x)/(1 + x^2)^2 = 4x/(1 + x^2)^2.

Теперь подставим критические точки в вторую производную:

1. Для x = 1:
• y''(1) = 4 * 1 / (1 + 1^2)^2 = 4 / 4 = 1 (положительное значение).
• Это означает, что в точке x = 1 у нас локальный минимум.
2. Для x = -1:
• y''(-1) = 4 * (-1) / (1 + (-1)^2)^2 = -4 / 4 = -1 (отрицательное значение).
• Это означает, что в точке x = -1 у нас локальный максимум.

Теперь найдем значение функции в точке x = -1:

1. y(-1) = -1 - 2 * arctg(-1).
2. arctg(-1) = -π/4, следовательно:
3. y(-1) = -1 - 2 * (-π/4) = -1 + π/2.

Таким образом, локальный максимум функции y = x - 2 arctg x равен -1 + π/2.

Ответ: D) -1 + π/2.