Какой параметр a необходимо выбрать, чтобы неравенство (a^2-1)cos^2x - 2acosx - 2 <= 0 имело решения для всех значений x на числовой прямой?

Математика 11 класс Неравенства с параметрами неравенство математика параметр a решение cos^2x числовая прямая значение x Новый

Чтобы решить неравенство (a^2 - 1)cos^2x - 2acosx - 2 > 0, нам необходимо рассмотреть его как квадратное неравенство относительно переменной cos x. Давайте обозначим y = cos x. Тогда наше неравенство можно переписать в следующем виде:

(a^2 - 1)y^2 - 2ay - 2 > 0.

Теперь это квадратное неравенство имеет вид Ay^2 + By + C > 0, где:

• A = a^2 - 1,
• B = -2a,
• C = -2.

Чтобы неравенство выполнялось для всех значений y (где y = cos x, и y может принимать значения от -1 до 1), необходимо, чтобы квадратный трёхчлен не имел действительных корней. Это значит, что его дискриминант D должен быть меньше нуля.

Дискриминант D вычисляется по формуле:

D = B^2 - 4AC.

Подставим значения A, B и C в формулу:

D = (-2a)^2 - 4(a^2 - 1)(-2).

Упростим это выражение:

1. D = 4a^2 + 8(a^2 - 1),
2. D = 4a^2 + 8a^2 - 8 = 12a^2 - 8.

Теперь нам необходимо установить условие, при котором D < 0:

12a^2 - 8 < 0.

Решим это неравенство:

1. 12a^2 < 8,
2. a^2 < 8/12,
3. a^2 < 2/3.

Теперь извлечем корень из неравенства:

|a| < √(2/3).

Это значит, что a должно находиться в пределах:

-√(2/3) < a < √(2/3).

Таким образом, чтобы неравенство (a^2 - 1)cos^2x - 2acosx - 2 было верно для всех значений cos x, параметр a необходимо выбрать в диапазоне:

-√(2/3) < a < √(2/3).