Какой предел функции нужно вычислить, когда x стремится к 5: lim (x -> 5) (x^2 - 8x + 15) / (x^2 - 25)?

Математика 11 класс Пределы функций предел функции lim x стремится к 5 вычисление предела математика 11 класс дробь в пределе Новый

Чтобы вычислить предел функции lim (x -> 5) (x^2 - 8x + 15) / (x^2 - 25), давайте сначала подставим значение x = 5 в числитель и знаменатель.

1. Подставляем x = 5 в числитель:

(5^2 - 8*5 + 15) = (25 - 40 + 15) = 0.

2. Теперь подставляем x = 5 в знаменатель:

(5^2 - 25) = (25 - 25) = 0.

Таким образом, мы получаем форму 0/0, что указывает на необходимость дальнейшего анализа. В таких случаях мы можем применить факторизацию.

3. Факторизуем числитель:

x^2 - 8x + 15 можно разложить на множители. Мы ищем такие два числа, которые в сумме дают -8, а в произведении 15. Это числа -3 и -5.

Поэтому:

x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5).

4. Теперь факторизуем знаменатель:

x^2 - 25 является разностью квадратов и можно разложить как:

x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5).

5. Теперь подставим эти разложения в предел:

lim (x -> 5) ((x - 3)(x - 5)) / ((x - 5)(x + 5)).

6. Мы можем сократить (x - 5) в числителе и знаменателе, но нужно помнить, что x не должен равняться 5, чтобы избежать деления на ноль:

lim (x -> 5) (x - 3) / (x + 5).

7. Теперь подставим x = 5 в упрощенную функцию:

(5 - 3) / (5 + 5) = 2 / 10 = 1/5.

Ответ: Предел функции при x, стремящемся к 5, равен 1/5.