Какую часть времени (в процентах) в течение первой секунды будет гореть лампочка, если датчик настроен так, что он загорается при напряжении не ниже 5 В, а напряжение изменяется по закону U = Uo sin(ω t + φ), где Uo = 10 В, ω = 150°/с, φ = 30°?

Математика 11 класс Колебания и волны математика 11 класс закон изменения напряжения лампочка датчик процент времени первая секунда напряжение U = Uo sin(ω t + φ) Uo = 10 В ω = 150°/с φ = 30° электрические цепи анализ функции тригонометрические функции периодические процессы Новый

Для решения задачи необходимо определить, в течение какого времени напряжение U превышает 5 В в течение первой секунды. Напряжение задано уравнением:

U = Uo sin(ω t + φ)

Где:

• Uo = 10 В - амплитуда напряжения;
• ω = 150°/с - угловая частота;
• φ = 30° - начальная фаза.

Сначала переведем угловую частоту ω из градусов в радианы, так как в тригонометрических функциях обычно используется радианная мера. Для этого используем соотношение:

ω = 150° × (π/180) = 2.61799 рад/с

Теперь подставим значения в уравнение:

U = 10 sin(2.61799t + 0.5236)

Нам нужно определить, когда U ≥ 5 В:

10 sin(2.61799t + 0.5236) ≥ 5

Упростим неравенство:

sin(2.61799t + 0.5236) ≥ 0.5

Зная, что sin(θ) = 0.5 при θ = 30° и θ = 150°, можем записать:

2.61799t + 0.5236 = nπ + π/6

2.61799t + 0.5236 = nπ + 5π/6

Где n - целое число. Решим это уравнение для t:

t = (nπ + π/6 - 0.5236) / 2.61799

t = (nπ + 5π/6 - 0.5236) / 2.61799

Теперь подставим n = 0 и n = 1, чтобы найти значения t в пределах первой секунды:

Для n = 0:

• t1 = (0 + π/6 - 0.5236) / 2.61799 = (0.5236 - 0.5236) / 2.61799 = 0
• t2 = (0 + 5π/6 - 0.5236) / 2.61799 = (2.61799 - 0.5236) / 2.61799 ≈ 0.797

Для n = 1:

• t1 = (π + π/6 - 0.5236) / 2.61799 = (3.6652 - 0.5236) / 2.61799 ≈ 1.00
• t2 = (π + 5π/6 - 0.5236) / 2.61799 = (4.71239 - 0.5236) / 2.61799 ≈ 1.20

Таким образом, лампочка будет гореть в интервале времени от 0 до 0.797 секунд. Теперь найдем процент времени, когда лампочка горит:

Процент времени = (время горения / общее время) × 100%

Процент времени = (0.797 / 1) × 100% ≈ 79.7%

Следовательно, лампочка будет гореть примерно 79.7% первой секунды.