Какую непрерывную функцию f(x) можно найти, чтобы выполнялось равенство f(f(x)) = 4x + 1 для всех действительных чисел x?

Математика 11 класс Функции и их свойства непрерывная функция f(f(x)) равенство 4x + 1 действительные числа математика 11 класс Новый

Для поиска непрерывной функции f(x), которая удовлетворяет уравнению f(f(x)) = 4x + 1, давайте рассмотрим несколько шагов, чтобы понять, как подойти к решению этой задачи.

Шаг 1: Определение структуры функции

Мы знаем, что функция f(f(x)) должна преобразовывать x в 4x + 1. Это значит, что f(x) должна быть такой, чтобы при двойном применении функции мы получали линейное выражение.

Шаг 2: Предположение о виде функции

Начнем с предположения, что f(x) может быть линейной функцией. Пусть f(x) имеет вид:

• f(x) = ax + b

Шаг 3: Подстановка и упрощение

Теперь подставим f(x) в само себя:

• f(f(x)) = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a^2x + ab + b

Теперь у нас есть:

• f(f(x)) = a^2x + (ab + b)

Шаг 4: Сравнение коэффициентов

Мы знаем, что f(f(x)) должно быть равно 4x + 1. Сравним коэффициенты:

• Сравниваем коэффициенты при x: a^2 = 4
• Сравниваем свободные члены: ab + b = 1

Шаг 5: Решение системы уравнений

Решим первое уравнение:

• a^2 = 4 ⇒ a = 2 или a = -2

Теперь подставим каждое значение a в второе уравнение:

• Если a = 2:
• 2b + b = 1 ⇒ 3b = 1 ⇒ b = 1/3
• Если a = -2:
• -2b + b = 1 ⇒ -b = 1 ⇒ b = -1

Шаг 6: Запись найденных функций

Таким образом, мы получили две возможные функции:

• f(x) = 2x + 1/3
• f(x) = -2x - 1

Шаг 7: Проверка найденных функций

Теперь проверим, удовлетворяют ли они исходному уравнению:

• Для f(x) = 2x + 1/3:
• f(f(x)) = f(2x + 1/3) = 2(2x + 1/3) + 1/3 = 4x + 2/3 + 1/3 = 4x + 1.
• Для f(x) = -2x - 1:
• f(f(x)) = f(-2x - 1) = -2(-2x - 1) - 1 = 4x + 2 - 1 = 4x + 1.

Обе функции удовлетворяют уравнению f(f(x)) = 4x + 1.

Ответ:

Таким образом, искомые функции:

• f(x) = 2x + 1/3
• f(x) = -2x - 1