Квадратичные функции

1. Как построить график функции y = x² + 4x + 3?
2. На основе полученного графика, что можно узнать:
• В каких координатных четвертях находится график функции;
• Где график пересекает координатные оси;
• Какова область определения функции (для каких значений x она существует);
• Каковы возможные значения y (множество значений);
• Где функция возрастает и убывает;

Математика 11 класс Квадратичные функции квадратичные функции график функции построение графика координатные четверти пересечение координатных осей область определения функции возможные значения y возрастание функции убывание функции Новый

Чтобы построить график функции y = x² + 4x + 3, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

1. Определение формы функции:

   Функция y = x² + 4x + 3 является квадратичной. Она имеет вид ax² + bx + c, где a = 1, b = 4 и c = 3.

2. Нахождение координат вершины параболы:

   Вершина параболы находится по формуле x = -b/(2a). Подставим значения:

   • x = -4/(2*1) = -2.

   Теперь найдем значение y в этой точке:

   • y = (-2)² + 4*(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1.

   Таким образом, вершина параболы находится в точке (-2, -1).

3. Нахождение корней функции:

   Корни уравнения можно найти с помощью дискриминанта D = b² - 4ac:

   • D = 4² - 4*1*3 = 16 - 12 = 4.

   Поскольку D > 0, у функции два различных корня:

   • x1 = (-b + √D)/(2a) = (-4 + 2)/(2*1) = -1;
   • x2 = (-b - √D)/(2a) = (-4 - 2)/(2*1) = -3.

   Корни функции: x1 = -1 и x2 = -3.

4. Пересечение с координатными осями:

   График функции пересекает ось X в корнях функции, то есть в точках (-1, 0) и (-3, 0).

   Чтобы найти пересечение с осью Y, подставим x = 0:

   • y = 0² + 4*0 + 3 = 3.

   Таким образом, график пересекает ось Y в точке (0, 3).

5. Область определения функции:

   Квадратичная функция определена для всех значений x, то есть область определения: x ∈ R.

6. Множество значений функции:

   Поскольку парабола открыта вверх и вершина имеет координаты (-2, -1), то минимальное значение функции равно -1. Таким образом, множество значений: y ≥ -1.

7. Анализ монотонности функции:

   Функция убывает на интервале (-∞, -2) и возрастает на интервале (-2, +∞).

Теперь, зная все эти характеристики, мы можем построить график функции. Он будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх, с вершиной в точке (-2, -1), пересекающую ось X в точках (-1, 0) и (-3, 0), а также ось Y в точке (0, 3).