Чтобы решить неравенство (x² + 3x - 10) / (x² + 5x)² ≤ 0, начнем с анализа числителя и знаменателя.

Шаг 1: Найдем корни числителя.

Решим уравнение x² + 3x - 10 = 0. Используем дискриминант:

• Дискриминант D = b² - 4ac = 3² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49.
• Корни: x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-3 + 7) / 2 = 2,
• x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-3 - 7) / 2 = -5.

Таким образом, корни числителя: x = 2 и x = -5.

Шаг 2: Найдем корни знаменателя.

Решим уравнение (x² + 5x)² = 0. Это равносильно решению x² + 5x = 0:

• Факторизуем: x(x + 5) = 0.
• Корни: x₁ = 0 и x₂ = -5.

Таким образом, корни знаменателя: x = 0 и x = -5.

Шаг 3: Определим знаки выражения.

Теперь мы имеем корни: 2, -5 (числитель) и 0, -5 (знаменатель). Обозначим эти корни на числовой оси:

• (-∞, -5), (-5, 0), (0, 2), (2, +∞).

Теперь определим знаки на каждом интервале:

1. Для x < -5: (положительное число) / (положительное число) > 0.
2. Для -5 < x < 0: (отрицательное число) / (положительное число) < 0.
3. Для 0 < x < 2: (положительное число) / (положительное число) > 0.
4. Для x > 2: (положительное число) / (положительное число) > 0.

Шаг 4: Составим итоговое неравенство.

Неравенство (x² + 3x - 10) / (x² + 5x)² ≤ 0 выполняется на интервале:

• (-5, 0) - здесь выражение отрицательно.
• В точке x = -5 числитель равен 0, но знаменатель тоже равен 0, поэтому эта точка не включается.
• В точке x = 0 выражение не определено.

Таким образом, целые решения неравенства: x = -4, -3, -2, -1.

Шаг 5: Найдем наибольшее целое решение и количество всех целых решений.

• Наибольшее целое решение: x = -1.
• Количество целых решений: 4 (x = -4, -3, -2, -1).

Шаг 6: Найдем произведение наибольшего целого решения на количество всех целых решений.

Произведение = (-1) * 4 = -4.

Ответ: Произведение наибольшего целого решения на количество всех целых решений равно -4.