Не могли бы вы помочь решить уравнение: sin^4 x + cos^2 2x = 1?

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение решение уравнения Тригонометрия синус косинус математика 11 класс задачи по математике алгебра математический анализ Новый

Конечно, давайте решим уравнение sin^4 x + cos^2 2x = 1 шаг за шагом.

Первым делом, вспомним, что cos^2 2x можно выразить через sin и cos. Мы знаем, что:

• cos 2x = cos^2 x - sin^2 x,
• cos^2 2x = (cos 2x)^2 = (cos^2 x - sin^2 x)^2.

Теперь мы можем переписать уравнение:

sin^4 x + (cos^2 x - sin^2 x)^2 = 1.

Раскроем квадрат:

(cos^2 x - sin^2 x)^2 = cos^4 x - 2cos^2 x sin^2 x + sin^4 x.

Теперь подставим это в уравнение:

sin^4 x + cos^4 x - 2cos^2 x sin^2 x + sin^4 x = 1.

Соберем подобные слагаемые:

2sin^4 x + cos^4 x - 2cos^2 x sin^2 x = 1.

Теперь воспользуемся основным тригонометрическим тождеством sin^2 x + cos^2 x = 1. Мы можем выразить cos^4 x через sin^2 x:

cos^4 x = (1 - sin^2 x)^2 = 1 - 2sin^2 x + sin^4 x.

Подставим это в уравнение:

2sin^4 x + (1 - 2sin^2 x + sin^4 x) - 2cos^2 x sin^2 x = 1.

Соберем все слагаемые:

3sin^4 x - 2sin^2 x + 1 - 2cos^2 x sin^2 x = 1.

Упростим уравнение:

3sin^4 x - 2sin^2 x - 2cos^2 x sin^2 x = 0.

Теперь заменим cos^2 x на (1 - sin^2 x):

3sin^4 x - 2sin^2 x - 2(1 - sin^2 x)sin^2 x = 0.

Раскроем скобки:

3sin^4 x - 2sin^2 x - 2sin^2 x + 2sin^4 x = 0.

Соберем подобные слагаемые:

5sin^4 x - 4sin^2 x = 0.

Вынесем общий множитель:

sin^2 x (5sin^2 x - 4) = 0.

Теперь у нас два случая:

1. sin^2 x = 0, что дает x = nπ, где n - целое число.
2. 5sin^2 x - 4 = 0, что дает sin^2 x = 4/5, следовательно, sin x = ±√(4/5) = ±(2/√5).

Решения для второго случая:

sin x = 2/√5 или sin x = -2/√5.

Решения для x будут определяться по арксинусам:

x = arcsin(2/√5) + 2kπ и x = π - arcsin(2/√5) + 2kπ, где k - целое число.

Для отрицательного значения:

x = arcsin(-2/√5) + 2kπ и x = π - arcsin(-2/√5) + 2kπ.

Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения.