Похожие вопросы
2024-12-28 17:28:17
Нужно срочно решить интеграл: ∫sin²(2x) × cos(2x) dx. Это вопрос жизни и исключения с универа❤
Математика 11 класс Интегралы интеграл решение интеграла sin²(2x) cos(2X) математика 11 класс интегрирование математические задачи университетская математика
2024-12-28 17:28:29
Решим интеграл ∫sin²(2x) × cos(2x) dx. Для этого мы воспользуемся методом подстановки.
Шаг 1: Подбор подстановки.
Обратим внимание, что в нашем интеграле присутствует производная функции sin(2x). Мы можем сделать следующую подстановку:
- Пусть u = sin(2x).
- Тогда производная du будет равна 2cos(2x)dx, или, другими словами, dx = du/(2cos(2x)).
Шаг 2: Замена переменных в интеграле.
Теперь подставим u и dx в наш интеграл:
- sin²(2x) = u²,
- cos(2x)dx = du/2.
Таким образом, наш интеграл преобразуется следующим образом:
∫sin²(2x) × cos(2x) dx = ∫u² × (1/2) du = (1/2) ∫u² du.
Шаг 3: Интегрирование.
Теперь мы можем интегрировать u²:
(1/2) ∫u² du = (1/2) × (u³/3) + C = (u³/6) + C.
Шаг 4: Возврат к исходной переменной.
Теперь подставим обратно u = sin(2x):
(sin(2x)³)/6 + C.
Ответ: Интеграл ∫sin²(2x) × cos(2x) dx равен (sin³(2x))/6 + C.
