Нужно срочно решить интеграл: ∫sin²(2x) × cos(2x) dx. Это вопрос жизни и исключения с универа❤

Математика 11 класс Интегралы интеграл решение интеграла sin²(2x) cos(2X) математика 11 класс интегрирование математические задачи университетская математика Новый

Решим интеграл ∫sin²(2x) × cos(2x) dx. Для этого мы воспользуемся методом подстановки.

Шаг 1: Подбор подстановки.

Обратим внимание, что в нашем интеграле присутствует производная функции sin(2x). Мы можем сделать следующую подстановку:

• Пусть u = sin(2x).
• Тогда производная du будет равна 2cos(2x)dx, или, другими словами, dx = du/(2cos(2x)).

Шаг 2: Замена переменных в интеграле.

Теперь подставим u и dx в наш интеграл:

• sin²(2x) = u²,
• cos(2x)dx = du/2.

Таким образом, наш интеграл преобразуется следующим образом:

∫sin²(2x) × cos(2x) dx = ∫u² × (1/2) du = (1/2) ∫u² du.

Шаг 3: Интегрирование.

Теперь мы можем интегрировать u²:

(1/2) ∫u² du = (1/2) × (u³/3) + C = (u³/6) + C.

Шаг 4: Возврат к исходной переменной.

Теперь подставим обратно u = sin(2x):

(sin(2x)³)/6 + C.

Ответ: Интеграл ∫sin²(2x) × cos(2x) dx равен (sin³(2x))/6 + C.