Почему в уравнении cos(3x) = -1/2 решение х = ±2π/9 + 2/3πk, а не π/9? Ведь -1/2 соответствует π/3, а не 2π/3. Подскажите, пожалуйста.

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение cos(3x) решение cos(3x) = -1/2 значение x в уравнении тригонометрические уравнения решение тригонометрического уравнения Новый

Давайте разберемся с уравнением cos(3x) = -1/2 и выясним, почему решения имеют вид x = ±2π/9 + 2/3πk.

Сначала вспомним, что косинус принимает значение -1/2 в определенных углах. В частности, это происходит при:

• cos(2π/3) = -1/2
• cos(4π/3) = -1/2

Теперь, поскольку у нас есть cos(3x), мы можем записать уравнение:

• 3x = 2π/3 + 2πk (где k - целое число)
• или
• 3x = 4π/3 + 2πk

Теперь решим каждое из этих уравнений для x:

1. Для первого уравнения:
• 3x = 2π/3 + 2πk
• x = (2π/3 + 2πk) / 3 = 2π/9 + (2π/3)k
2. Для второго уравнения:
• 3x = 4π/3 + 2πk
• x = (4π/3 + 2πk) / 3 = 4π/9 + (2π/3)k

Теперь у нас есть два решения:

• x = 2π/9 + (2π/3)k
• x = 4π/9 + (2π/3)k

Теперь давайте посмотрим, как можно выразить 4π/9 через ±2π/9. Мы можем записать 4π/9 как 2π/9 + 2π/3, что соответствует 2π/9 + 2/3πk для k = 1.

Таким образом, обобщая все решения, мы можем записать их в виде:

• x = ±2π/9 + (2π/3)k

Это и объясняет, почему решения именно в таком виде, а не в виде π/9. Надеюсь, это проясняет ситуацию!