Для решения интеграла 3 sin^2(cos x) dx мы будем использовать метод подстановки и некоторые тригонометрические идентичности.

Шаг 1: Используем тригонометрическую идентичность.

Мы знаем, что sin^2(a) = (1 - cos(2a)) / 2. Применим эту идентичность к нашему интегралу:

• Подставляем a = cos(x).
• Тогда sin^2(cos(x)) = (1 - cos(2cos(x))) / 2.

Шаг 2: Подставляем в интеграл:

Интеграл теперь выглядит так:

3 ∫ sin^2(cos x) dx = 3 ∫ (1 - cos(2cos(x))) / 2 dx = (3/2) ∫ (1 - cos(2cos(x))) dx

Шаг 3: Разделим интеграл на два отдельных:

(3/2) ∫ (1 - cos(2cos(x))) dx = (3/2) ∫ dx - (3/2) ∫ cos(2cos(x)) dx

Шаг 4: Интегрируем первый интеграл:

Первый интеграл (3/2) ∫ dx просто равен (3/2)x.

Шаг 5: Теперь рассмотрим второй интеграл:

(3/2) ∫ cos(2cos(x)) dx - этот интеграл, к сожалению, не имеет элементарной формы и обычно решается с помощью численных методов или специальных функций.

Таким образом, окончательный ответ на интеграл будет в следующем виде:

∫ 3 sin^2(cos x) dx = (3/2)x - (3/2) ∫ cos(2cos(x)) dx + C,

где C - произвольная константа интегрирования.

Если вам нужно численное значение интеграла на определенном промежутке, вы можете использовать численные методы, такие как метод трапеций или метод Симпсона.