Помогите пожалуйста по интегралам!

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком y=-(x-2)^2+4?

Математика 11 класс Интегралы площадь фигуры график функции интегралы y=-(x-2)^2+4 математика задачи по математике Новый

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = -(x - 2)² + 4, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем этот процесс подробно.

Шаг 1: Построение графика функции

Сначала мы можем понять форму графика. Функция y = -(x - 2)² + 4 — это парабола, открытая вниз, с вершиной в точке (2, 4). Это значит, что максимальное значение функции равно 4, и оно достигается, когда x = 2.

Шаг 2: Нахождение корней функции

Чтобы найти, где график пересекает ось x (то есть, где y = 0), решим уравнение:

• -(x - 2)² + 4 = 0

Перепишем уравнение:

• -(x - 2)² = -4
• (x - 2)² = 4

Теперь найдем корни:

• x - 2 = 2 → x = 4
• x - 2 = -2 → x = 0

Таким образом, корни функции находятся в точках x = 0 и x = 4.

Шаг 3: Вычисление площади

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции и осью x, можно найти с помощью определенного интеграла. Площадь S будет равна:

• S = ∫[0, 4] (-(x - 2)² + 4) dx

Шаг 4: Вычисление интеграла

Теперь мы можем вычислить интеграл:

• ∫ (-(x - 2)² + 4) dx = ∫ (-x² + 4x - 4 + 4) dx = ∫ (-x² + 4x) dx

Теперь найдем первообразную:

• ∫ (-x² + 4x) dx = -x³/3 + 2x² + C

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 4:

• S = [-x³/3 + 2x²] от 0 до 4

Сначала подставим верхний предел:

• S = [-4³/3 + 2*4²] = [-64/3 + 32] = [-64/3 + 96/3] = 32/3

Теперь подставим нижний предел:

• S = [-0³/3 + 2*0²] = 0

Теперь вычтем нижний предел из верхнего:

• S = 32/3 - 0 = 32/3

Ответ:

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком y = -(x - 2)² + 4 и осью x, равна 32/3 квадратных единиц.