Привет, энтузиаст! Давай вместе разберемся, как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=(x+3)^2+4 и осью OX на отрезке [-3;-1]. Это будет увлекательное путешествие в мир интегралов!

Шаг 1: Найдем уравнение функции

• Функция y=(x+3)^2+4 — это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке (-3, 4).
• На отрезке [-3;-1] график функции находится выше оси OX, так как y всегда положительно на этом отрезке.

Шаг 2: Запишем интеграл для нахождения площади

Площадь S фигуры можно найти, вычислив определенный интеграл:

S = ∫ от -3 до -1 ( (x+3)^2 + 4 ) dx

Шаг 3: Вычислим интеграл

1. Сначала найдем первообразную функции (x+3)^2 + 4:
• ∫( (x+3)^2 + 4 ) dx = (1/3)(x+3)^3 + 4x + C
2. Теперь подставим пределы интегрирования:
• Подставляем x = -1: (1/3)(-1+3)^3 + 4*(-1) = (1/3)(2^3) - 4 = (8/3) - 4 = (8/3) - (12/3) = -4/3
• Подставляем x = -3: (1/3)(-3+3)^3 + 4*(-3) = (1/3)(0) - 12 = -12
3. Теперь находим S:
• S = [-4/3] - [-12] = -4/3 + 12 = -4/3 + 36/3 = 32/3

Шаг 4: Ответ

Итак, площадь фигуры S, ограниченной графиком функции y=(x+3)^2+4 и осью OX на отрезке [-3;-1], равна 32/3 квадратных единиц!

Надеюсь, это поможет тебе в изучении интегралов! Удачи и вдохновения в учебе!