Для решения интеграла ∫(cos²(x/3)) dx от 0 до π/3, мы будем использовать формулу для преобразования косинуса в квадрате. Напомним, что:

Формула приведения:

cos²(α) = (1 + cos(2α)) / 2

В нашем случае α = x/3, следовательно:

cos²(x/3) = (1 + cos(2(x/3))) / 2 = (1 + cos(2x/3)) / 2

Теперь подставим это в наш интеграл:

∫(cos²(x/3)) dx = ∫((1 + cos(2x/3)) / 2) dx

Теперь мы можем разбить интеграл на два отдельных интеграла:

∫((1 + cos(2x/3)) / 2) dx = (1/2) ∫(1) dx + (1/2) ∫(cos(2x/3)) dx

Теперь вычислим каждый из интегралов по отдельности:

1. Первый интеграл:

∫(1) dx = x

2. Второй интеграл:

Для интегрирования cos(2x/3) мы используем замену переменной:

Пусть u = 2x/3, тогда du = (2/3)dx, или dx = (3/2)du.

Когда x = 0, u = 0, а когда x = π/3, u = 2π/9.

Теперь интеграл становится:

∫(cos(u)) * (3/2) du = (3/2) ∫(cos(u)) du = (3/2) sin(u) + C.

Подставляем обратно u = 2x/3:

(3/2) sin(2x/3) + C.

Теперь вернемся к нашему интегралу:

∫(cos²(x/3)) dx = (1/2)(x) + (1/4)(3 sin(2x/3)) + C = (1/2)x + (3/8)sin(2x/3) + C.

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до π/3:

∫(cos²(x/3)) dx от 0 до π/3 = [(1/2)(π/3) + (3/8)sin(2(π/3)/3)] - [(1/2)(0) + (3/8)sin(0)]

Теперь вычислим:

• При x = π/3:

(1/2)(π/3) + (3/8)sin(2π/9)

• При x = 0:

(1/2)(0) + (3/8)sin(0) = 0

Итак, окончательный ответ:

∫(cos²(x/3)) dx от 0 до π/3 = (1/2)(π/3) + (3/8)sin(2π/9).

Это и есть значение интеграла. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!