Помогите, пожалуйста, решить уравнение: 2cos^3(x) = sin(5π/2 - x) (косинус в кубе x).

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение решение уравнения косинус в кубе тригонометрические функции математика 11 класс синус cos^3(x) sin(5π/2 - x) Новый

Давайте решим уравнение 2cos^3(x) = sin(5π/2 - x) шаг за шагом.

Первым делом, упростим правую часть уравнения. Мы знаем, что sin(5π/2 - x) можно преобразовать с помощью тригонометрических свойств.

• Используем свойство синуса: sin(α - β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β).
• В нашем случае: α = 5π/2 и β = x.
• Так как sin(5π/2) = 1 и cos(5π/2) = 0, мы можем записать:

sin(5π/2 - x) = sin(5π/2)cos(x) - cos(5π/2)sin(x) = 1 * cos(x) - 0 * sin(x) = cos(x).

Теперь подставим это обратно в уравнение:

2cos^3(x) = cos(x).

Теперь мы можем перенести все на одну сторону уравнения:

2cos^3(x) - cos(x) = 0.

Вынесем общий множитель cos(x):

cos(x)(2cos^2(x) - 1) = 0.

Теперь у нас есть произведение, равное нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. cos(x) = 0.
• Решаем: x = π/2 + kπ, где k - любое целое число.
2. 2cos^2(x) - 1 = 0.
• Решаем это уравнение:
• 2cos^2(x) = 1 => cos^2(x) = 1/2 => cos(x) = ±√(1/2) = ±1/√2 = ±√2/2.
• Решения для cos(x) = √2/2:
• x = π/4 + 2kπ
• x = 7π/4 + 2kπ
• Решения для cos(x) = -√2/2:
• x = 3π/4 + 2kπ
• x = 5π/4 + 2kπ

Таким образом, полное множество решений уравнения 2cos^3(x) = sin(5π/2 - x) будет:

• x = π/2 + kπ,
• x = π/4 + 2kπ,
• x = 7π/4 + 2kπ,
• x = 3π/4 + 2kπ,
• x = 5π/4 + 2kπ,

Где k - любое целое число.