Помогите, пожалуйста, решить уравнение: 2tgx + 12ctgx = 24.

Математика 11 класс Тригонометрические уравнения уравнение математика 11 класс решение уравнения Тригонометрия tg ctg алгебра учебная задача помощь по математике Новый

Чтобы решить уравнение 2tgx + 12ctgx = 24, начнем с упрощения его. Напомним, что ctg(x) является обратной функцией к tg(x), то есть ctg(x) = 1/tg(x).

Подставим это в уравнение:

• 2tgx + 12(1/tgx) = 24

Теперь умножим обе части уравнения на tg(x), чтобы избавиться от дроби:

• 2tg^2(x) + 12 = 24tg(x)

Переносим все члены в одну сторону уравнения:

• 2tg^2(x) - 24tg(x) + 12 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно tg(x). Давайте введем новую переменную:

• y = tg(x)

Таким образом, уравнение принимает вид:

• 2y^2 - 24y + 12 = 0

Теперь можем упростить его, разделив все коэффициенты на 2:

• y^2 - 12y + 6 = 0

Теперь применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

• y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Где a = 1, b = -12, c = 6. Подставим значения:

• b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 * 1 * 6 = 144 - 24 = 120

Теперь подставим это в формулу:

• y = (12 ± √120) / 2
• √120 = √(4 * 30) = 2√30

Таким образом, мы имеем:

• y = (12 ± 2√30) / 2
• y = 6 ± √30

Теперь у нас есть два значения для tg(x):

• tg(x) = 6 + √30
• tg(x) = 6 - √30

Теперь найдем x для каждого из этих значений:

• x = arctg(6 + √30) + kπ, где k - любое целое число.
• x = arctg(6 - √30) + kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы получили два семейства решений для данного уравнения. Не забудьте, что tg(x) имеет период π, поэтому добавляем kπ для всех целых чисел k.